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] → 浏览:[转帖]计算$\;\;{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\frac{n+n^2+\cdots+n^n}{1^n+2^n+\cdots+n^n}$
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: [转帖]计算$\;\;{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\frac{n+n^2+\cdots+n^n}{1^n+2^n+\cdots+n^n}$
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elim
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题:
计算$\;\;L=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\small\frac{n+n^2+\cdots+n^n}{1^n+2^n+\cdots+n^n}.$
TdJh/
解:
$\because\;\sum_1^n n^k =\frac{n^{n+1}-1}{n-1},\quad{\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n}\big(\frac{k}{n}\big)^n = \frac{e}{e-1}$
[参见本论坛旧贴]
H86}px
$\qquad\therefore\;\; L={\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}}{\large\frac{\frac{n-n^{-n}}{n-1}}{\sum_1^k\big(\frac{k}{n}\big)^n}=\frac{e-1}{e}}=1-e^{-1}.\quad\square$
\
2018/05/22 04:14pm
IP: 已设置保密
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elim
头衔: 论坛版主
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题:
计算$\;\;L^*=\displaystyle\underset{\,}{\lim_{n\to\infty}}\small \frac{n+n^2+\cdots+n^n}{1+2^2+\cdots+n^n}.$
X
解:
\(\,\displaystyle L^*\overset{\text{Stolz}}{=}\lim_{n\to\infty}\frac{{\small n}\frac{n^n-1}{n-1}{\scriptsize-(n-1)}\frac{(n-1)^{n-1}-1}{n-2}}{n^n}=1\)
Gk
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛 mHo1&
注记:
比较主贴,找到关键的不同...
w
2021/01/15 09:50am
IP: 已设置保密
[本文共351字节]
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[转帖]计算$\;\;{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\frac{n+n^2+\cdots+n^n}{1^n+2^n+\cdots+n^n}$
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