[转帖]计算$\;\;{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\frac{n+n^2+\cdots+n^n}{1^n+2^n+\cdots+n^n}$ @ 基础数学

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elim
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题：计算$\;\;L=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\small\frac{n+n^2+\cdots+n^n}{1^n+2^n+\cdots+n^n}.$TdJh/
解：$\because\;\sum_1^n n^k =\frac{n^{n+1}-1}{n-1},\quad{\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n}\big(\frac{k}{n}\big)^n = \frac{e}{e-1}$[参见本论坛旧贴]H86}px
$\qquad\therefore\;\; L={\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}}{\large\frac{\frac{n-n^{-n}}{n-1}}{\sum_1^k\big(\frac{k}{n}\big)^n}=\frac{e-1}{e}}=1-e^{-1}.\quad\square$\

发贴时间 2018/05/22 04:14pm　IP: 已设置保密 [本文共523字节]　

elim
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题：计算$\;\;L^*=\displaystyle\underset{\,}{\lim_{n\to\infty}}\small \frac{n+n^2+\cdots+n^n}{1+2^2+\cdots+n^n}.$X
解：\(\,\displaystyle L^*\overset{\text{Stolz}}{=}\lim_{n\to\infty}\frac{{\small n}\frac{n^n-1}{n-1}{\scriptsize-(n-1)}\frac{(n-1)^{n-1}-1}{n-2}}{n^n}=1\)Gk
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛　　mHo1&
注记：比较主贴，找到关键的不同...w

发贴时间 2021/01/15 09:50am　IP: 已设置保密 [本文共351字节]　

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