[转帖]计算$\;\;{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\frac{n+n^2+\cdots+n^n}{1^n+2^n+\cdots+n^n}$ @ 基础数学

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elim
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题：计算$\;\;L=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\small\frac{n+n^2+\cdots+n^n}{1^n+2^n+\cdots+n^n}.$NB%
解：$\because\;\sum_1^n n^k =\frac{n^{n+1}-1}{n-1},\quad{\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n}\big(\frac{k}{n}\big)^n = \frac{e}{e-1}$[参见本论坛旧贴]cs4B|"
$\qquad\therefore\;\; L={\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}}{\large\frac{\frac{n-n^{-n}}{n-1}}{\sum_1^k\big(\frac{k}{n}\big)^n}=\frac{e-1}{e}}=1-e^{-1}.\quad\square$F~#`

发贴时间 2018/05/22 04:14pm　IP: 已设置保密 [本文共523字节]　

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