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定义.$\;\small\;0.a_1a_2\ldots=0.\overline{a_1\ldots a_m}\in(0,1)\,$叫纯循环小数$\,\scriptsize(m\mid (p-q)\implies a_p=a_q)$.n[_iT)
$\qquad$有限序列$\,a_1,\ldots,a_m\,$叫作所论循环小数的循环节$,\,m\,$是循环节长.h'{sV9!hnvy
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注记：通常泛称形如$\;\;c_n\ldots c_0.b_1\ldots b_k\,\overline{a_1\ldots a}_m\,$的实数为循环小数.y=k;Of<RM
$\qquad$为简化讨论，仅需考虑纯循环小数.若无特别声明,下述循环小数J._~?6
$\qquad$均为十进制纯循环小数.L(H*n(=
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引理：若$\,m_1,m_2\,$是$\,\alpha=0.a_1a_2\ldots\,$的二循环节长,则$\,m=\gcd(m_1,m_2)$D2+
$\qquad$也是$\,\alpha\,$的一个循环节长.#Feh>
证：不妨设$\underset{\,}{\,}m+a_1m_1=a_2m_2\,(a_1,a_2\in\mathbb{N}).\,$于是对$\,q,k\in\mathbb{N},k>0\,$有~V_X
$\qquad a_{(qm+k)}=a_{(qm+k+qa_1m_1)}=a_{(k+qa_2m_2)}=a_k$R4M\wGS,
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定理：对任意纯循环小数$\,\alpha = 0.a_1a_2\ldots,\,$存在最小$\,m\in\mathbb{N}^+$使],@V%u
$\qquad\alpha=0.\overline{a_1\ldots a}_m.\;\;\alpha\,$的任何循环节长均为$\,m\,$的倍数.'oKJh;
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定理：考虑正整数比$\,\alpha=\frac{m}{n}\,\small(\gcd(m,n)=1\le m< n).$R<jDf82
$\underset{\,}(1)\quad\alpha\,$是有限小数当且仅当$\,\exists s\in\mathbb{N}\,(n\mid 10^s)$.[D8+uLL
$\underset{\,}(2)\quad\alpha\,$是纯循环小数当且仅当$\,\exists s\in\mathbb{N}\,(n\mid 10^s-1)$.<AGM
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2018/05/19 07:47am 
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