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 * 贴子主题: 设$\,a_n,\,x\in\mathbb{N},\, 0< \frac{x}{61} = \sum_1^{\infty}\frac{a_n}{10^n}< 1,\;a_{37}=2,\,a_{65}=3.\;$求$\,(x,a_{36}).$ 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
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  题:设$\underset{\,}{\,}a_n,\,x\in\mathbb{N},\, 0< \frac{x}{61} = \sum_1^{\infty}\frac{a_n}{10^n}< 1,\;a_{37}=2,\,a_{65}=3.\;$求$\,(x,a_{36}).$ BLEl
证:$\underset{\,}{\because}\;p=61\not\in\{2^v 5^w\mid (v,w)\in\mathbb{N}^2\},\;\large\frac{x}{p}=\frac{K}{10^{\,m}-1}\,$是循环小数. i~L<
$\underset{\,}{\qquad}p\mid 10^m-1.\,$由费马小定理及最小周期的性质$,\,m\mid p-1.\;$易见s`<y
$\underset{\,}{\qquad}(60>m\mid 60)\wedge(61\mid 10^m-1)\,$无解.故$\,\large\frac{x}{p}\,$的循环节长$\,m=60.\;$对Js
$(\dagger)\;\;\,\frac{1}{61}\small =0.\dot{0}1639344262295081967213114754098360655737704918032786885245\dot{9}$.pl^[I
$\small\underset{\,}{\qquad}$记$\,\frac{1}{61}=0.\dot{c}_1 c_2\ldots\dot{c}_{60}\,$易见$\,\frac{10^{\,k}}{61}-\lfloor\frac{10^{\,k}}{61}\rfloor = 0.\dot{c}_{k+1}\ldots c_p c_1\ldots\dot{c}_k${#^Kr
$\underset{\,}{\qquad}$两两不等$\,(1\le k\le 60),\,$ 故$\,\frac{x}{61}=0.\dot{c}_{k+1}c_{k+2}\ldots\dot{c}_{k+60}\,$对某$\,k\,$成立.?K9
$\underset{\,}{\qquad}\small\text{其循环节是}c_1\ldots c_m\text{的一个轮换}$.须求$k$使$(c_{(k+37)\% m},c_{(k+65)\% m})=(2,3)$pR1
$\underset{\,}{\because\quad}\frac{x_1}{61}=\scriptsize 0.\color{blue}{\dot{6}55737704918032786885245901639344262}\color{red}{2}\color{blue}{9508196721311475409836\dot{0}}6557\color{red}{3}\ldots$@,
$\underset{\,}{\qquad}\frac{x_2}{61}=\scriptsize 0.\color{blue}{\dot{9}18032786885245901639344262295081967}\color{red}{2}\color{blue}{1311475409836065573770\dot{4}}9180\color{red}{3}\ldots$2A
$\underset{\,}{\therefore}\quad(x,a_{36})=(40,2),(65,7).\quad\square$C6=l_&
注记:显然我们需要知道某个循环节.所以类似$\,(\dagger)\,$的数据不可少.对较长的循环节,需要类似n
于Pari/Gp 的软件. 甚至需要编程来找解
=)5



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编程时对这类问题作了一般的处理,可以处理多于两个条件的解,6L
也可以处理无解的情况。<
按此在新窗口浏览图片.sZg
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Tm4u
输入不同的循环节字符串可以处理不同分母的类似问题:Hjn
按此在新窗口浏览图片E
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  [35#|
等价的循环节(互为对方的一个轮换)不改变函数的输出结果.dV<



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