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Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:[转帖]已知$\,x^2+\frac{1}{\large x}+y^2+\frac{1}{\large y}=\frac{27}{4}$,求$\,{\small P}=\frac{15}{\large x}–\frac{3}{4y}\,$的最小值 标记论坛所有内容为已读 

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 * 贴子主题: [转帖]已知$\,x^2+\frac{1}{\large x}+y^2+\frac{1}{\large y}=\frac{27}{4}$,求$\,{\small P}=\frac{15}{\large x}–\frac{3}{4y}\,$的最小值 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
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  题:已知$\,x^2+\frac{1}{\large x}+y^2+\frac{1}{\large y}=\frac{27}{4}$,求$\,{\small P}=\frac{15}{\large x}–\frac{3}{4y}\,$的最小值. srck_Ri
解:应用Lagrange乘数法,求Mw
$\qquad L(x,y,\lambda)=\frac{15}{x}-\frac{3}{4y}+\lambda(x^2+\frac{1}{\large x}+y^2+\frac{1}{\large y}-\frac{27}{4})\,$的驻点$\scriptsize(\text{Station Point})$.7B
$\underset{\,}{\qquad}$令$\,(L_x,L_y,L_{\lambda})\equiv\big({\small-}\frac{15+\lambda}{x^2}{\small +2\lambda x},\frac{3-4\lambda}{4y^2}{\small +2\lambda y},{\small x^2+}\frac{1}{x}+{\small y^2+}\frac{1}{y}-\frac{27}{4}\big)=\mathbf{0}$FW
$\underset{\,}{\qquad}$得$\;(x,y)=\big(\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{15}{2\lambda}},\,\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{3}{8\lambda}}\big),\;\small\;4y(x^3+1)+4x(y^3+1)=27xy.$@Q
$\underset{\,}{\quad}$从 ScientificWorkplace 得到,又由Pari/GP矫正的数值解是(
$\underset{\,}{\quad}\lambda\scriptsize =-15.2733775542663202790335668352041186011244897907934778446722906011405589445447574850433\ldots$MdX-Y
$\underset{\,}{\quad}x_{\lambda}\scriptsize =0.2076184400085877397903182624732172770279907559896122126763520376218531613309925423184489\ldots$[,W4
$\underset{\,}{\quad}y_{\lambda}\scriptsize =0.8064850618904549111593181843820115312225902750151762121200379377395120529744293547350502\ldots$z
$\underset{\,}{\quad}\frac{15}{x_{\lambda}}-\frac{3}{8y_{\lambda}}\scriptsize =71.78293714607018550281334807129473917486703810592176872136249966161294571285335719\ldots$?
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  一楼SWP 给出的数值解其实颇具误导性:\f
$\underset{\,}{\quad}g(\lambda)=\big(y(x^3+1)+x(y^3+1)-\frac{27}{4}xy\big)(\lambda)$oWl^D
$\underset{\,}{\qquad}\;\;\;=(\frac{3}{2}+\frac{15}{2\lambda})\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{3}{8\lambda}}+(\frac{3}{2}-\frac{3}{8\lambda})\sqrt[3]{\frac{3}{2}+\frac{15}{2\lambda}}-\frac{27}{4}\sqrt[3]{\frac{1}{4}+\frac{57}{16\lambda}-\frac{45}{16\lambda^2}}$ c
$\quad$从其图形N
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$\quad$知道$\underset{\,}{\,}(x,y,\lambda)=(2,0.5,1)$h^
$\quad\begin{bmatrix}x\\ y\\ \lambda \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\scriptsize 2.671110894880331200919086831875344281673955228405010556859543\ldots}\qquad\\ {\scriptsize -0.75355148970323015203201875168033437133218043773015317700401\ldots}\qquad\\ {\scriptsize 0.404139873897374435192928802137089617339503168642500041163496\ldots}\qquad\end{bmatrix}$l
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$\quad\begin{bmatrix}x\\ y\\ \lambda \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\scriptsize -2.26996367950503512465255959204176509100417385607150981001166\ldots}\qquad\\ {\scriptsize 1.035344724666764397412928052084180414495696345464254128722934\ldots}\qquad\\ {\scriptsize -0.61492942676925314485295227551982756400066504562367124098525\ldots}\qquad\end{bmatrix}$?c
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$\quad$将$\lambda$的这些数值解代入目标函数$\quad G(\lambda)={\large\frac{15}{x(\lambda)}}-\large\frac{3}{4y(\lambda)}$ 得最小值E-
$\quad \min G = -7.332431653818948252400741176303915609976880537938\ldots$|!mq8



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