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 * 贴子主题: 试证 $f\in C^2[0,1]\implies |f'(x)|\le 4{\small\displaystyle\int_0^1} |f| +{\small\displaystyle\int_0^1}|f''|$ 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
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  题:试证 $f\in C^2[0,1]\implies |f'(x)|\le 4{\small\displaystyle\int_0^1} |f| +{\small\displaystyle\int_0^1}|f''|.\quad$srct8
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  wo8Q
这个问题流传在网上有一个版本,这里的4在那里是9.m\`<w
证明好像也是错的.E[+zMU



发贴时间2018/05/03 04:40am IP: 已设置保密[本文共321字节]  
 elim 
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  题:试证 $f\in C^2[0,1]\implies |f'(x)|\le 4{\small\displaystyle\int_0^1} |f| +{\small\displaystyle\int_0^1}|f''|.$Xc9b
证:令$\underset{\,}{\,\;}(m,M)=(\min,\max)|f'|{\small([0,1]),\;}|f'|(\alpha)=m,\;|f'|(\beta)=M.$M
${\qquad}$由中值定理$,\,f(x)=f(0)+x\cdot f'(\xi)\;(\xi=\theta x,\;0<\theta_x< 1).\;\;$FRl
$\underset{\,}{\qquad}$若在$\,\;(0,1)\,$上$\,f\ge 0,\,\;$则$\,\;|f|\ge mx,\quad{\small\displaystyle\int_0^1}|f|\ge{\small\displaystyle\int_0^1}mx dx=\large\frac{m}{2}.$MO
${\qquad}$若在$\,\;(0,1)\,$上$\,f< 0,\;\;$则$\;{\small -}f({\small 1-x})=-f(1)+xf'(\xi)\ge mx,$/gy0
${\qquad}$仍有$\;\;{\small\displaystyle\int_0^1}|f|={\small\displaystyle-\int_0^1}f(1-x)dx\ge\underset{\,}{\large\frac{m}{2}}.$(0?j
$\underset{\,}{\qquad}$若有$\,\eta\in{\small(0,\,1)},\,$使$\,f(\eta)=0,\,$则$\;|f(x)|={\small |(x-\eta)f'(\xi)|}\ge m|x-\eta|,$XRr.
$\underset{\,}{\qquad}{\small\displaystyle\int_0^1}|f|\ge{\small\displaystyle\int_0^{\eta}}m(\eta-x)+{\small\displaystyle\int_{\eta}^1}m(x-\eta)=m((\eta-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4})\ge\large\frac{m}{4}.$a]("
$\therefore\;\;\;{\small\displaystyle\int_0^1}(4|f|+|f''|)\ge m+\big|{\small\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}}f''(x)dx\big|\ge{\small m+M-m}\ge |f'(x)|.\;\,\square$-<4



发贴时间2018/05/03 05:34am IP: 已设置保密[本文共1255字节]  

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