>> 欢迎您,客人登录 按这里注册 忘记密码 在线 搜索 论坛风格  帮助  插件   


>>> 数学分析,奇异积分,几何,代数,微分方程,群与环,数论
Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:试证若 $a_1=1,\,a_{n+1}=a_n+a_n^{-2}$, 则 $a_{2015} > 18$. 标记论坛所有内容为已读 

 目前论坛总在线 8 人,本主题共有 1 人浏览。其中注册用户 0 人,访客 1 人。  [关闭详细列表]
发表一个新主题 回复贴子 开启一个新投票 ◆此帖被阅读 133 次◆  浏览上一篇主题  刷新本主题  树形显示贴子 浏览下一篇主题
 * 贴子主题: 试证若 $a_1=1,\,a_{n+1}=a_n+a_n^{-2}$, 则 $a_{2015} > 18$. 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 121254 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1858
精华: 0
资料:  
在线: 857 时 26 分 56 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2018/07/19 03:30am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [楼 主]
  题:试证若 $a_1=1,\,a_{n+1}=a_n+a_n^{-2}$, 则 $a_{2015} > 18$.pvzvk?
解:首先想到的是数值计算:M%C
按此在新窗口浏览图片SQRk
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  6l
令$\;b_n = a_n^{-1},\;b_{n+1} = \frac{1}{a_n+b_n^2}=\frac{b_n}{1+b_n^3}< b_n,\;\{b_n\}\,$单调降下有界cH
$\displaystyle{b=\lim_{n\to\infty}b_n\implies b={\scriptsize\frac{b}{1+b^3}}\implies b=0,\implies \lim_{n\to\infty}a_n=\infty}$C
如果把题目改成求$\,n\,$使$\,a(n)>10000,\,$计算可以进行,但似乎没玩没了.-
所以即使$\,a(n)\,$可以任意大,但相应的计算的可行性也许会成问题.[X4uB
$\because\;b_{n+1}=b_n-b_n^4+O(b_n^7),\;{\small\dfrac{1}{b_{n+1}^{-k}-b_n^{-k}}}={\small\dfrac{b_n^k b_{n+1}^k}{b_n^k-b_{n+1}^k}}\sim{\small\dfrac{b_n^{2k}}{k\cdot b_n^{k-1}b_n^4}}\to\small\dfrac{1}{3}\binom{k=3}{n\to\infty}$'yS
$\therefore\;\displaystyle\lim_{n\to\infty} nb_n^3=\lim_{n\to\infty}{\small\frac{\Delta n}{\Delta b_n^{-3}}}={\small\frac{1}{3}}.\quad\therefore\;\lim_{n\to\infty}{\small\dfrac{a_n}{\sqrt[3]{n}}}=3,\quad a_n\sim\sqrt[3]{3n}.$aW{



发贴时间2018/04/29 03:55pm IP: 已设置保密[本文共1004字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 121254 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1858
精华: 0
资料:  
在线: 857 时 26 分 56 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2018/07/19 03:30am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 2 楼]
  题:试证若 $a_1=1,\underset{\,}{\,}a_{n+1}=a_n+a_n^{-2}$, 则 $a_{2015} > 18$.[YHl
证:令$\underset{\,}{\,}b_n=\sqrt[3]{3(n-1)},\;$则对$\,n>2,\;b_{n+1}=b_n\big(1+\frac{3}{\large b_n^3})^{\frac{1}{3}}< b_n+b_n^{-2}.\,$>/
$\underset{\,}{\because\quad} f(x)=x+x^{1-k},\;f'(x)=1-(k-1)x^{-k}>0\;(\,x>\sqrt[k]{k-1})$
$\underset{\,}{\qquad}a_k> b_k\;(k\le 3)\,$知$\,a_{n+1}=a_n+a_n^{-2}>b_n+b_n^{-2} > b_{n+1}\,(\forall n).\;$[^%[67
$\therefore\quad a_{2015}> b_{2015}=18.2\ldots > 18.\;\;\square$p"[uwh



发贴时间2018/04/29 04:20pm IP: 已设置保密[本文共532字节]  

 该主题只有一页

快速回复主题: 试证若 $a_1=1,\,a_{n+1}=a_n+a_n^{-2}$, 则 $a_{2015} > 18$.
您目前的身份是: 客人 ,要使用其他用户身份,请输入用户名和密码。未注册客人请输入网名,密码留空。
输入用户名和密码: 用户名: 没有注册? 密码: 忘记密码?
上传附件或图片 (最大容量 10000KB)
目前附件:(如不需要某个附件,只需删除内容中的相应 [UploadFile ...] 标签即可) [删除]
选项

使用 LeoBBS 标签?
显示您的签名?
有回复时使用邮件通知您?

使用字体转换?

    快速引用第 楼层的回复
 顶端 加到"个人收藏夹" 主题管理总固顶 取消总固顶 区固顶 取消区固顶 固顶 取消固顶 提升 沉底
加重 取消加重 精华 取消精华 锁定 解锁 删除 删除回复 移动


© 中文版权所有: 雷傲科技
程序版权所有: 雷傲超级论坛  版本: LeoBBS X Build051231
 

本论坛言论纯属发表者个人意见,与 Elinkage数学论坛 立场无关