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  试证 $\{\sqrt[n]{n}\}\underset{\,}{\;}$递减. 求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}$.3
解:$\ln\sqrt[n+1]{n+1}-\ln\sqrt[n]{n} = {\small\dfrac{\ln(n+1)}{n+1}-\dfrac{\ln n}{n}}=\large\frac{\ln(1+\frac{1}{n})^n -\ln n}{n(n+1)}< \frac{1-\ln n}{n(n+1)}\overset{\small n>2}{<}0$
$\underset{\,}{\;}\;\therefore\;\;\{\sqrt[n]{n}\}\;$从第3项开始递减。(7vrX
$\underset{\,}{\qquad}$令$\;\delta_n = \sqrt[n]{n}-1\ge 0,\;$则$\,n=(1+\delta_n)^n> \binom{n}{2}\delta_n^2 $5n]oK:
$\underset{\,}{\;}\;\therefore\;\;\; 0\le \sqrt[n]{n}-1 = \delta_n <\sqrt{\frac{2}{n-1}}\to 0\;(n\to\infty).\quad\small\square$0P#



发贴时间2018/04/02 00:51pm IP: 已设置保密[本文共634字节]  

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快速回复主题: 试证 $\{\sqrt[n]{n}\}$ 递减. 求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}$
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