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  题:计算$\underset{\,}{\;}{\small\displaystyle\int_0^{\infty}}e^{-ax^2-bx^{-2}}dx\;\;(a,b>0)$@
解:$\;I(b)={\small\displaystyle\int_{\underset{\,}{0}}^\infty}e^{-at^2-bt^{-2}}dt\overset{t\;\mapsto \lambda x}{=}\lambda{\small\displaystyle\int_0^\infty}e^{-bx^2-ax^{-2}}dx\;\;\scriptsize(\lambda=\sqrt{b/a})$;@d>^Z
$\qquad\quad\overset{t\,\mapsto x^{-1}}{=}{\small\displaystyle\int_0^\infty}x^{-2}e^{-bx^2-ax^{-2}}dx$Sk
$\quad\therefore\;\;I'(b)=-{\small\displaystyle\int_0^\infty}\frac{1}{x^2}e^{-ax^2-bx^{-2}}dx=-\frac{1}{\lambda}{\small\displaystyle\int_0^\infty}\frac{1}{x^2}e^{-bx^2-ax^{-2}}dx=-\small\dfrac{I(b)}{\lambda}$D^ilL&
$\qquad\;\;\ln{\frac{\large I(b)}{{\large I}(0)}}=-\underset{\,}{\displaystyle\int_0^b}{\frac{1}{\large\lambda}}\text{d}b = -2\sqrt{ab}$x!
$\quad\therefore\;\;I(b)=e^{-2\sqrt{ab}}\underset{\,}{\small\displaystyle\int_0^\infty}e^{-ax^2}dx=\frac{1}{2}e^{-2\sqrt{ab}}\sqrt{\frac{\pi}{a}}.\quad\square$WdW



发贴时间2018/03/09 03:09am IP: 已设置保密[本文共967字节]  
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发贴时间2018/03/21 01:06am IP: 已设置保密[本文共54字节]  

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