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 elim 
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  题:${\small\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}}\ln(1+a\cos^2\theta)d\theta=\pi\ln\frac{1+\sqrt{1+a}}{2}\;\;(a\ge-1)$mTq7so
证:令$\;I(\lambda)={\small\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}}\ln(1+\lambda\cos^2\theta)d\theta$, 则 $I'(\lambda)=\small\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^2\theta}{1+\lambda\cos^2\theta}d\theta$X{
$\qquad=\underset{\,}{\frac{1}{\lambda}}{\small\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\big(1-\frac{\sec^2\theta}{\sec^2\theta+\lambda}\big)}}d\theta=\frac{1}{\lambda}\big(\theta-\frac{1}{\sqrt{1+\lambda}}\arctan\frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\lambda}}\big){\LARGE|}_0^{\overset{\,}{\frac{\pi}{2}}}$`;,T
$\qquad=\underset{\,}{\frac{\pi}{2\lambda}}\big(1-\frac{1}{\sqrt{1+\lambda}}\big)={\scriptsize\dfrac{\pi\,(\sqrt{1+\lambda})\,'}{1+\sqrt{1+\lambda}}}.\;\;\boxed{I(\lambda)=\pi\ln\scriptsize\overset{\,}{\frac{1+\sqrt{1+\lambda}}{2}}\;(0\ne\lambda>-1)}$6
$\underset{\,}{\qquad}$令$\;\lambda\to a\scriptsize +\;$即得所证.=AH_ji
例:求定积分 $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta)d\theta\;\;(a,b>0)$*0|U;
$\underset{\,}{\quad}$易见$\;\;\ln(a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta)=\ln(b^2(1+\frac{a^2-b^2}{b^2}\cos^2\theta)\;\;$于是有|Nu+
$\;\quad{\small\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}}}\ln(a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta)d\theta = \pi\ln b+I(\frac{a^2-b^2}{b^2})=\pi\ln\large\frac{a+b}{2}.$\pK



发贴时间2018/03/05 00:20pm IP: 已设置保密[本文共1385字节]  
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