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  题:试证对不等于$\,2,\,5\,$的素数$\,p$,存在某正整数$\,n$使得$\,p\mid 11\ldots 1\,(n$个$1).$3



发贴时间2017/12/26 05:34am IP: 已设置保密[本文共122字节]  
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  证:如果$\,{\large\frac{1}{p}}=0.a_1\ldots a_k\,$是有限小数, 令$\,m=a_k+10a_{k-1}+\cdots+10^{k-1}a_1$bpQ
$\qquad$则$\;mp = 10^k,\;\; p\mid 10.\;$这与题设矛盾. 故必有k
$\qquad{\large\frac{1}{p}}=0.c_1\ldots c_m\dot{a_1}\ldots\dot{a_n}={\large\frac{C}{10^m}}+{\large\frac{A}{10^m(10^n-1)}},\;\small(0\le C< 10^m,\;0< A< 10^n)$^=
$\underset{\tiny\,}{\qquad}\therefore\; p(C(10^n-1)+A)= 10^m(10^n-1),\quad p\mid 10^n-1 = 3^2\cdot 11\ldots 1(n$个$1)$^6 |
$\qquad$若$\,p=3,\,$则$\,p\mid 111,\;$否则必有某$\,n\in\mathbb{N}^+$使$\;p\mid 11\ldots 1\,(n$个$1).\quad\square$ABa



发贴时间2017/12/26 09:56am IP: 已设置保密[本文共599字节]  
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  证:若$\underset{\,}{\,}3\ne p\nmid 10,\;$据费马小定理,$\,10^{p-1}-1\equiv 0\pmod{p}$E'J
$\quad\therefore\; p\mid(10^{p-1}-1)/9=11\ldots 1\,(p-1$个$1).\;$又$\,3\mid 111.\;\;\square$8 ff7L



发贴时间2017/12/27 04:44am IP: 已设置保密[本文共212字节]  

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