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 * 贴子主题: 求 $w=\frac{1}{3}(\frac{a_1\lambda^2}{1}\fplus\frac{a_2\lambda^2}{1}\fplus\fdots)$ 使 $F(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1,\lambda^2) = 1+\frac{\lambda^2}{4(1+w)}$ 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
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  题:求 $w=\large\frac{1}{3}(\frac{a_1\lambda^2}{1}\fplus\frac{a_2\lambda^2}{1}\fplus\fdots\;)\,$使$\,F(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1,\lambda^2) = 1+\frac{\lambda^2}{4(1+w)}$.Mj9f
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  `S}"u
解:令$\small\underset{\,}{\;}(P_0,Q_0) =(0,1),\,(P_1,Q_1) = (a_1\lambda^2,1),\;\;\small\begin{pmatrix}P_{k+1}\\Q_{k+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}P_k& P_{k-1}\\Q_k& Q_{k-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\a_{k+1}\lambda^2 \end{pmatrix}$n&6F
$\quad$则$\;{\large\frac{a_1\lambda^2}{1}\fplus\frac{a_2\lambda^2}{1}\fplus\fdots\fplus\frac{a_k\lambda^2}{1}}=\large\frac{P_k}{Q_k}.\quad$记$\;w_k=\large\frac{1}{3}\underset{\,}{\frac{P_k}{Q_k}}.$_Sy
$\underset{\,}{\because}\;F(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1,\lambda^2)=1+\frac{1}{4}\lambda^2+\frac{1}{4^3}\lambda^4+\frac{1}{4^4}\lambda^6+\frac{25}{4^7}\lambda^8+\frac{49}{4^8}\lambda^{10}+\cdots\quad(\dagger)$|
$\underset{\,}{\quad}1+\frac{\lambda^2}{4(1+w_1)}=1+\frac{1}{4}\lambda^2-\frac{1}{12}a_1\lambda^4+O(\lambda^6).\quad\therefore\quad a_1 \overset{(\dagger)}{=}-\frac{3}{16}\;$(下不赘述)T
$\quad{\small\underset{\,}{\begin{pmatrix}P_2\\ Q_2\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}-\frac{3}{16}\lambda^2& 0\\1& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\a_2\lambda^2\end{pmatrix}},\quad\large\frac{P_2}{Q_2} =\frac{-\frac{3}{16}\lambda^2}{1+a_2\lambda^2}$]/SMI
$\underset{\,}{\quad}1+\frac{\lambda^2}{4(1+w_2)}=1+\frac{1}{4}\lambda^2+\frac{1}{4^3}\lambda^4+(\frac{1}{1024}-\frac{1}{4^3}a_2)\lambda^6+O(\lambda^8),\quad\therefore\;\;a_2=-\frac{3}{16}$9djS@
$\quad{\small\begin{pmatrix}P_3\\ Q_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{3}{16}\lambda^2& -\frac{3}{16}\lambda^2\\1-\frac{3}{16}\lambda^2& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\a_2\lambda^2\end{pmatrix}},\quad\large\frac{P_3}{Q_3} =\frac{-\frac{3}{16}\lambda^2(1-\frac{3}{16}\lambda^2)}{1-\frac{3}{8}\lambda^2} $iS@
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  $(#1
$\underset{\,}{\quad}\frac{\lambda^2}{4(1+w_3)}=\frac{1}{4}\lambda^2+\frac{1}{4^3}\lambda^4+\frac{1}{4^4}\lambda^6+\frac{1}{4^5}(3a_3-1)\lambda^6+O(\lambda^8),\quad\therefore\;\;a_3=-\frac{3}{16}$RGG>`
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  A QI
$\quad\small\begin{pmatrix}P_4\\ Q_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{3}{16}\lambda^2(1-\frac{3}{16}\lambda^2)& -\frac{3}{16}\lambda^2\\1-\frac{3}{8}\lambda^2& 1-\frac{3}{16}\lambda^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\a_4\lambda^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{3}{4^4}(16-3\lambda^2+16\lambda^2a_4)\\1-\frac{3}{8}\lambda^2+(1-\frac{3}{16}\lambda^2)\lambda^2 a_4 \end{pmatrix}$12
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$\underset{\,}{\quad}\frac{\lambda^2}{4(1+w_4)}=\frac{1}{4}\lambda^2+\frac{1}{4^3}\lambda^4+\frac{1}{4^4}\lambda^6+\frac{25}{4^7}\lambda^8+\frac{\lambda^{10}}{4^8}(\frac{163}{4}{\small-36a_4}){\small +O(\lambda^{12})},\;\therefore\;a_4=-\frac{11}{48}$q
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Z=|x/h
$\therefore w\;$可展开成连分数$\quad\large\frac{1}{3}\big(\frac{-\frac{3}{16}\lambda^2}{1}\fplus\frac{-\frac{3}{16}\lambda^2}{1}\fplus\frac{-\frac{3}{16}\lambda^2}{1}\fplus\frac{-\frac{11}{48}\lambda^2}{1}\fplus\fdots\;\big)$Gm6xr



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  Gauss's ordinary hypergeometric seriessifuo
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$F(a,b;c;x)={\small\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}}\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k k!}x^k\small\quad(|x|< 1,\quad(\gamma)_k:={\displaystyle\prod_{0\le j< k}}(\gamma+j))$6



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