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  题:设$\;A_n = {\large\frac{x}{1-x^2}+\frac{x^2}{1-x^4}+\frac{x^4}{1-x^6}+\cdots+\frac{x^{2^n}}{1-x^{2^{n+1}}}}$"!
$\qquad$求$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}A_n}\quad\small(0< x< 1).$cjrX
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解:题即求和$\;\;{\small\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}}\frac{x^{2^n}}{1-x^{2^{n+1}}}\quad\small(0< x< 1).$+q"zr
$\qquad$因为$\;\frac{x^{2^n}}{1-x^{2^{n+1}}}=\underset{\,}{\small\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty}}}x^{(2k+1)2^n}$8R5W
$\underset{\,}{\qquad} (n,k)\mapsto (2k+1)2^n\,$是$\,\mathbb{N}^2\,$到$\,\mathbb{N}^+\;$的一一对应,~Vlen
$\therefore\quad{\small\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}}}\frac{x^{2^n}}{1-x^{2^{n+1}}}={\small\displaystyle{\sum_{n,k\in\mathbb{N}}}}x^{(2k+1)2^n}={\small\displaystyle{\sum_{m\in\mathbb{N}^+}}}x^m = {\large\frac{x}{1-x}}.\quad\square$j=



发贴时间2017/11/28 05:48am IP: 已设置保密[本文共810字节]  

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快速回复主题: 求和$\;\;{\small\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}}\frac{x^{2^n}}{1-x^{2^{n+1}}}\quad\small(0< x< 1)$
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