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 elim 
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  题:计算 ${\small\displaystyle{\int_0^2}}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}}dx\quad$srci`i(d=
解:对$\underset{\,}{\,}x\ge 0,\;$令$\;y_1=\sqrt{x},\;y_{n+1}=\sqrt{x+y_n},\;$则$\,0\le y_n\le y_{n+1}< 1+x.\,$@
$\underset{\,}{\qquad}$故$\;\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}}={\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}y_n=y=\sqrt{x+y}}=\frac{1}{2}(1+\sqrt{\small 1+4x})$~R\uP]
${\small\displaystyle{\qquad\int_0^2 {\large ydx} = \int_0^2}}\large\frac{1+\sqrt{1+4x}}{2}dx = \bigg[\frac{x}{2}+\frac{(4x+1)^{\small\frac{3}{2}}}{12}\bigg]_{\small 0}^{\small 2} =\frac{19}{6}.\quad\small\square$8J^



发贴时间2017/11/22 09:07am IP: 已设置保密[本文共682字节]  

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快速回复主题: 计算 $\displaystyle{\small\int_0^2}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}}dx$
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