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  大部分人都知道如何判断一个数是否能被 $2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11$ 整除。但不多的人知道如何判断一个数是否能被 $7, 13, 17$,...整除。6
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  L-
我们来看看这方面的一些结果。首先需要一些记号:%Lh
任给正整数 \(n = \displaystyle{\sum_{k=0}^m d_{k} 10^k}\)  \((d_{k} \in \mathbf{N} \cap [0,9], \; k=\overline{0,m})\), -qUaTo
记 \(L_{r}(n) = \displaystyle{\underset{r\leq k \leq m}{\sum} d_{k} 10^k}\), \(R_{r}(n) =\displaystyle{\underset{0\leq k < r}{\sum} d_{k} 10^k}\)`
故 \(L_{r}(n)\) 是从$n$ 删除 \(R_{r}(n)\) 而得. \(R_r(n) = n \% 10^r\),\(L_r(n) = (n-R_r(n))/10^r\)  l
\(R_r\) 是 \(r\)-尾函数,而 \(L_r\) 是 \(r\)-截尾函数. $n = 10^r L_r(n)+R_r(n) $/]/y
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  _=G
另外我们有如下一些观察 TEcz
\(\begin{array}{rl}&
\quad\textrm{(a)} & (p | n) \Leftrightarrow (p| (n + mp) \quad \forall m \in \mathbf{Z})\\(6uH@R
\textrm{(b)} & (p | n) \Leftrightarrow (p | qn, \quad (p,q) =1)\\FYp
\textrm{(c)} & (p | n) \Leftrightarrow (p | n/q,  \quad ((p,q) =1)\wedge (q|n))7
\end{array} \)v
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ?tq)=
一些结果:$
\(\begin{array}{rl}0)f
\quad\textrm{(0)} & \textrm{Characteristic of }0 \textrm{ and } 1 \textrm{:} \quad\forall a,m \in \mathbf{N}^+ (a | 0, 1|m)\\ /1,?
\textrm{(1)} & (2| n) \Leftrightarrow (2| R_1(n))\\>Aj|Kr
\textrm{(2)} & (3 | \sum_{k=0}^{n} a_k 10^k) \Leftrightarrow (3 | \sum_{k=0}^{n} a_k) \Leftrightarrow (3 \mid (L_1(n)-2R_1(n)))\\K5t
\textrm{(3)} & (4  |  n) \Leftrightarrow ( 4  |  R_2(n))\\ 6s:
\textrm{(4)} & (5  |  n) \Leftrightarrow R_1(n) \in \left\{0,5\right \}\\ w
\textrm{(5)} & (6  |  n) \Leftrightarrow \left((2 | n) \wedge (3|n)\right)\\ N.0o*g
\textrm{(6)} & (7  |  n) \Leftrightarrow ( 7 | (L_3(n)-R_3(n)))\Leftrightarrow ( 7 | ( L_1(n) - 2R_1(n)))\\ \
\textrm{(7)} & (8  |  n) \Leftrightarrow (8  | R_3(n)) \Leftrightarrow ((2|n)\wedge(4  |  R_2(n/2) ))\\ ^c.
\textrm{(8)} & (9 | \sum_{k=0}^n a_k 10^k) \Leftrightarrow (9 | \sum_{k=0}^n a_k) \Leftrightarrow 9 \mid (L_1(n)+R_1(n))\\ ^v;*9/
\textrm{(9)} & (10 | n) \Leftrightarrow (R_1(n)=0)  \\ M\
\textrm{(10)} & (11 | \sum_{k=0}^n a_k 10^k) \Leftrightarrow (11 | \sum_{k=0}^n \left( a_{2k+1}-a_{2k}\right)) \Leftrightarrow ( 11 | (L_1(n) - R_1(n)))\\ ,5
\textrm{(11)} & (12  |  n) \Leftrightarrow ((3 | n) \wedge (4|n))\\ H=V
\textrm{(12)} & (13  |  n) \Leftrightarrow (13 | (L_3(n)-R_3(n)))\Leftrightarrow ( 13  |  (L_1(n) + 4R_1(n)))\\ f=3[rf
\textrm{(13)} & (17  |  n) \Leftrightarrow (17 | (L_8(n)-R_8(n)))\Leftrightarrow 17  |  (L_1(n) - 5R_1(n)) \Leftrightarrow (17  |  R_3(n) - 3L_3(n))\\ hW8
\textrm{(14)} & (19  |  n) \Leftrightarrow (19 | (L_9(n)-R_9(n)))\Leftrightarrow (19  |  (L_1(n) + 2R_1(n))) \Leftrightarrow (19  |  (R_3(n) - 7L_3(n)))\\ nrX@7
\textrm{(15)} & (23  |  n) \Leftrightarrow (23 | (L_11(n)-R_11(n)))\Leftrightarrow (23  |  (R_4(n) - 5L_4(n)))\\ 3(lw/
\textrm{(16)} & (29  |  n) \Leftrightarrow (29 | (L_14(n)-R_14(n)))\Leftrightarrow (29  |  (R_4(n) - 5L_4(n)))E
\end{array} \)w
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  'E
例子:©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  QMlJR
To check if  \(314159265\) is divisible by \(7\), combine the results in the main post, we havet
\(314159265\to 30603202 \to 204040-4 \to 60501 \to 401-2 = 399 \to 39-18 = 21 \) orru_%
\(314159265 \to 34159-265=33894\to 33-894\to 861\to 16-2\) so \(7|314159265\)Z:k



发贴时间2010/09/30 02:53am IP: 已设置保密[本文共3456字节]  

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