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  中国余数定理:设正整数$\,n_1,\ldots,n_k\,$两两互素,整数$\,0\le r_i< n_i\,(i=\overline{1,k})$EnK
$\quad$则有$\;x_0\in\mathbb{N}\,$满足$\,x_0\equiv a_i\,(\text{mod}\,n_i)\;(i=\overline{1,k}).\;$并且同余方程组d"[&|
$\quad x\equiv a_i\,(\text{mod}\,n_i)\;(i=\overline{1,k})\,$的通解是$\,\;x = x_0+m(n_1\cdots n_k)\;(m\in\mathbb{Z})$ X
证.令$\,N=n_1\cdots n_k,\,N_i=N/n_i\,$则有\(\,s_i,t_i \in \mathbb{Z}:\;s_i n_i + t_i N_i = 1\small=\gcd(n_i,N_i)\). GScUY
$\quad$令\(\,m_i = t_i N_i,\,\)则\(\,\left(m_i \equiv 0 (\textrm{mod}\; n_j)  \quad i \neq j\right)\wedge\left(m_i \equiv 1 (\textrm{mod}\; n_i)\right)\). i
$\quad$故\(\,x_0 = \sum_{i=1}^k  a_i m_i\) 满足 \(x_0 \equiv  a_i (\textrm{mod}\; n_i)\;\,\small (i=\overline{1,k})\)./)
$\quad$最后\(\left( x\equiv  a_i (\textrm{mod}\; n_i)\;{\scriptsize i=\overline{1,k}}\right) \iff \left( x-x_0 \equiv 0 (\textrm{mod}\; n_i)\; {\scriptsize i=\overline{1,k}}\right)\)+}1pP
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\iff\left( x\equiv x_0 (\textrm{mod}\;N)\right).\quad\square$[52J/C
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例.韩信点兵SU1^
三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,+w_P
七子团圆正半月,除百零五便得知。z]"!T
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$(n_1,n_2,n_3)=(3,5,7),\;N=105,\;\small -23\times3+2N_1=1,\;-4\times 5+N_2=1,\,-2\times 7+N_3=1$Q
$\therefore\;(m_1,m_2,m_3)=(70,21,15).$_lt
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  V{T2Gc
\((\star)\;x \equiv  70[x]_3+21[x]_5+15[x]_7 (\text{mod}\,105)\) 其中$\,[x]_i\,$是$\,x\,$除以$\,n_i\,$的余数.BR$
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假定韩信在一次战役中俘虏了敌军三百多人,他让那些人三人一组站队,不余一人,;
五人一组站队余四人,七人一组站队余一人,于是 $0\times 70+4\times 21+ 1\times 15=84+15=99$ 俘虏共计$\;99+2\times 105 = 309\,$人。.ZV
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Ys'}_1
一人年龄除3余1,除5余4,除7余2,则 70+84+30 = 184,故此人 184-105=79岁._ARhyt



发贴时间2017/11/02 05:38am IP: 已设置保密[本文共1721字节]  
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  设$\,(n_1,n_2,n_3,n_4)=(2,3,5,11),\,\small N = 330,\,(N_1,N_2,N_3,N_4)=(165,110,66,30)$4mwR_V
利用辗转相除法得$XONf
$\quad\small -82\times 2+N_1=37\times 3-N_2=-13\times 5+N_3=11\times 11-4N_4=1$W%[7-L
易见 $(s_i+u)n_i+(t_i+v)N_i=1\iff(m=-u/N_i=v/n_i\in\mathbb{Z})$b
所以 $jN_i\equiv 1\,(\text{mod}\,n_i)\iff j=t_i+mv_i.\;\therefore\;m_i=(t_i+mv_i)N_i$|~n1:
$\small(m\in\mathbb{Z}).\;$为简单起见,可以取$\;m_i=\min\{h\mid h=(t_i+mv_i)\small N_i>0,\,m\in\mathbb{Z}\}$^R$=u
于是有$\;\small -82\times 2+N_1=-73\times 3+2N_2=-13\times 5+N_3=-19\times 11+7N_4=1$fs:Aii
$(m_1,m_2,m_3,m_4)=(165,220,66,210)\tiny\underset{\,}{\,}$n,N??<
$\;x\equiv 165[x]_2-110[x]_3+66[x]_5-120[x]_{11}$w
$\quad\,\equiv 165[x]_2+220[x]_3+66[x]_5+210[x]_{11}\,(\text{mod}\,330)$l lW}5
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若$([x]_2,[x]_3,[x]_5,[x]_{11})=(1,1,4,2),\;$则gbQ
$\quad x\equiv 165-110+264-240\equiv 79\,(\text{mod}\,330)$')8
$\quad x\equiv 165+220+264+420\equiv 1069\,(\text{mod}\,330)$!Z
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因为 $1069\equiv 79\,(\text{mod}\,330),\;$上面的结果都没错,但当$\,x\,$是年龄时第一个By
结果比较到位,当$\,x\,$是三个连的兵力时,第二个结果比较到位..5:



发贴时间2017/11/02 11:10am IP: 已设置保密[本文共1091字节]  
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  设$\,(n_1,n_2,n_3)=(4,5,9),\,\small N = 180,\,(N_1,N_2,N_3)=(45,36,20)$W$-"
利用辗转相除法得$\;(m_1,m_2,m_3)=(45,36,-80)\tiny\underset{\,}{\,}$gc
$\;x\equiv 45[x]_4+36[x]_5-80[x]_{9}\,(\text{mod}\,180)$S
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若$\,([x]_4,[x]_5,[x]_9)=(2,0,1),\;$则$\;x\equiv 90-80=10\,(\text{mod}\,180)$u$it`
若$\,x\,$是年龄,那么$\,x = 10$.bL
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ^d[
若$\,([x]_4,[x]_5,[x]_9)=(2,3,0),\;$则$\;x\equiv 90+108 \equiv 18\,(\text{mod}\,180)$W
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  i|
注意$\,n_1,\ldots,n_k\,$不必是素数,只要彼此互素就可以了。aE;K



发贴时间2017/11/03 01:15pm IP: 已设置保密[本文共599字节]  

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