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 elim 
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  引理:设$\,\{b_n\}\,$严格增无上界$,\;u'< u< {\large\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}}\;(n\ge M)$E'J]$Q
$\qquad$则有$\small\,N\ge M\,$使$\,\;u'< \large\frac{a_n}{b_n}\,\small(n\ge N).\;$将全部$\,<\,$换成$\,>\,$论断仍真.*9D
证:对$\underset{\,}{\;}u(b_{m+1}-b_m)< a_{m+1}-a_m\,$关于$\,m=\overline{M,n-1}\,$取和n
$\underset{\,}{\qquad}$得$\;u(b_n-b_M)< a_{n+1}-a_M,\;\;{\large\frac{a_M-ub_M}{b_n}}+(u-u')< {\large\frac{a_n}{b_n}}-u'$)Dv
$\underset{\,}{\qquad}$故有$\,N\ge M\,$使$\;n\ge N\implies {\large\frac{a_n}{b_n}}-u'> 0.$$[4Zz
$\underset{\,}{\qquad}$将以上证明中出现的$\,<\,$全换成$\,>\,$所得陈述仍真$.\quad\square$P~&Ow
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Stolz-Cesaro定理:若$\,\{b_n\}\,$严格单调,${\displaystyle\lim_{n\to\infty}}|b_n| = 0\,$或$\,\infty,$7KHy
$\underset{\,}{\qquad}{\large\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}}\to L(\in\mathbb{R})\,$或$\,\infty,\;$则$\;{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}{\large\frac{a_n}{b_n}}={\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\large\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$j,UK#E
证:设$\underset{\,}{\;}b_{n+1}>b_n\to\infty,\;{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}{\large\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}}=L\in\mathbb{R}.\;$则对$\,\varepsilon>0,$有3cbn{x
$\underset{\,}{\qquad}M\,$使$\;L-\frac{\varepsilon}{2}< {\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}}< L+\frac{\varepsilon}{2}\;\small(n\ge M).\;$据上引理知有$\small\,N\ge M\,$uWm|
$\underset{\,}{\qquad}$使$\,L-\varepsilon< {\large\frac{a_n}{b_n}}< L+\varepsilon\;(n\ge N).\quad\therefore\;{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}{\large\frac{a_n}{b_n}}=L.$$J
$\underset{\,}{\qquad}$若$\;\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\to\infty,\;$则对任意$\,K,\,$存在$\,M\,$使$\;\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}>k+1$k}
$\underset{\,}{\qquad}(n\ge M).\;$进而有上引理知有$\,N\ge M\,$使$\,{\large\frac{a_n}{b_n}}>K\;(n\ge N)$.546
$\qquad$此即$\;{\displaystyle{\underset{\,}{\lim_{n\to\infty}}}}{\large\frac{a_n}{b_n}}=\infty.$4SPZGs
$\underset{\,}{\qquad}\because\;\{b_n\}\,$严格减趋于$\,0\iff\{b_n^{-1}\}\,$严格增趋于$\,\infty\;$并且Zjw$
$\qquad\underset{\tiny\,}{\frac{a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1}}{b_{n+1}^{-1}-b_n^{-1}}}={\large\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\frac{b_nb_{n+1}}{a_na_{n+1}}},\;\frac{a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1}}{b_{n+1}^{-1}-b_n^{-1}}\sim{\large\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}}{\small\iff}{\large\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\sim\frac{a_n}{b_n}}$sm
$\qquad\therefore\;$定理对所述各情形成立$.\quad\square$6w%T



发贴时间2017/10/28 07:45am IP: 已设置保密[本文共2341字节]  
 elim 
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  以上给出了推广的 Stolz 定理的非常初等的证明.U>]



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