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 elim 
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  试证 $\;\;{\large\frac{\log x}{e^x}} < e^{-13/6}\;(\forall x > 0)\underset{\,}{.}$$Q0k
证:令$\;f(x)=\large\frac{\log x}{e^x},\;$则$\underset{\,}{\;}f'(x)={\large\frac{1-x\log x}{xe^x}},\;\;f''(x)=-{\large\frac{1+2x-x^2\log x}{x^2 e^x}}$J`A
$\underset{\,}{\because\;}1-\frac{5}{3}\log\frac{5}{3}>1-\frac{5}{3}(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}(\frac{2}{3})^2+\frac{1}{3}(\frac{2}{3})^3)=\frac{1}{81}$FV?!4
$\underset{\;}{\;\quad} 1-2\log 2 = 1-4\log(1+\frac{1}{1+\sqrt{2}})< 1-4\log(1+\frac{2}{5})$ebe(/M
$\underset{\;}{\;\;\qquad\qquad\quad}< 1-4(\frac{2}{5}-\frac{1}{2}(\frac{2}{5})^2)=-\frac{7}{25} $\9lt
$\underset{\;}{\therefore\;\;}f'(\frac{5}{3})>0>f'(2),\;\;\max(f)\in f(\frac{5}{3},2).$7m
$\underset{\;}{\because\;} e^{3/4}> 1+\frac{3}{4}+\frac{9}{2!4^2}=\frac{65}{32}>2,$ 对 $\frac{5}{3}\le x\le 2\,$有XN&4
$\underset{\;}{\quad}1+2x-x^2\log x> 1+2\frac{5}{3}-2^2\log 2>1+\frac{10}{3}-4\log e^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$bi\
$\underset{\,}{\therefore\;}f''< 0,\;\;\max(f)< f(\frac{5}{3})+f'(\frac{5}{3})(2-\frac{5}{3})=e^{-5/3}(\frac{1}{5}+\frac{2}{3}\log\frac{5}{3})$JsV5Ii
$\underset{\;}{\because}\;\log\frac{5}{3}< \frac{2}{3}-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})(\frac{2}{3})^2=\frac{16}{27},\;\;\sqrt{e}< {\small\displaystyle\sum_{k=0}^3}\frac{1}{k!2^k}+\frac{1}{2^4}{\small\displaystyle\sum_{k=4}^{\infty}}\frac{1}{k(k-1)}=\frac{5}{3}$@Um|9
$\therefore\;\max(f)e^{\frac{13}{6}}{\small<} e^{\frac{13}{6}-\frac{5}{3}}(\frac{1}{5}{\small+}\frac{2}{3}\log\frac{5}{3}){\small<} \sqrt{e}(\frac{1}{5}{\small+}\frac{2}{3}{\small\cdot}\frac{16}{27}){\small<} \frac{5}{3}\cdot\frac{241}{405}=\frac{241}{243}<1.\;\square$/<H~



发贴时间2017/10/23 00:16pm IP: 已设置保密[本文共1642字节]  
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发贴时间2017/10/25 02:59am IP: 已设置保密[本文共61字节]  
 elim 
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  题:估算$\;\;\max\large\frac{\log x}{e^x}.$)j.
解:$\underset{\,}{\;}\frac{d}{dx}{\large\big(\frac{\log x}{x^x}\big)}=\frac{1}{x}e^{-x}(1-\log x).\quad$令$\;x = \frac{1}{A},\;$则有以下关系#Qg
$\underset{\,}{\quad}(1-x\log x=0)\iff ({\small A+\log A}=0).\;$此时$\,\log x=-\small\log A=A.$O
$\underset{\,}{\therefore}\;\max{\large\frac{\log x}{e^x}}={\large\frac{A}{\sqrt[A]{e}}}= e^{\log A-\frac{1}{A}}=e^{-(A+A^{-1})}\;\small(A+\log A=0).\quad$注意:o7T.
$\quad\frac{d}{dx}(x+\log x)=1+\frac{1}{x}>0\;\small(x>0)\;$即$\;x+\log x>0\iff x>A$xgw(9
$\quad$又由$\;\frac{d}{dx}(-(x+x^{-1}))=\frac{1}{x^2}-1>0\;\small(0< x< 1)\;$知道u
$\quad e^{-(A+A^{-1})}< e^{-(x+x^{-1})}\;{\small(A< x< 1)}.\quad$于是由$\;{\large\frac{3}{5}}+\log{\large\frac{3}{5}}>0$G
$\quad\color{grey}{(\frac{3}{5}+{\small\log}(1-\frac{2}{5})=\frac{3}{5}-{\small\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}}\frac{1}{n}(\frac{2}{5})^n>\frac{1}{5}-\frac{1}{2}(\frac{2}{5})^2\frac{1}{1-\frac{2}{5}}=\frac{1}{15}>0)}$'!4
$\quad$得$\;\max{\large\frac{\log x}{e^x}}=e^{-(A+A^{-1})}< e^{-(\frac{3}{5}+\frac{5}{3})}= e^{-\frac{34}{15}}< e^{-\frac{9}{4}}< e^{-\frac{13}{6}}.\;\;\square$}
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发贴时间2017/10/31 01:18am IP: 已设置保密[本文共1210字节]  

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