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  题:设$\underset{\,}{\;}0.a_1a_2a_3\ldots = 0.123456789101112131415\ldots$ 求通项$a_n$.ZJ
解:位数不大于$\underset{\,}{\,}m\,$的正整数的十进制表示的长度总和$\,c(m)\,$是TLzX
$\quad c(m)=\sum_{k=1}^m k(10^k-10^{k-1})=\sum_{k=1}^m 9k10^{k-1}=m10^m-\frac{10^m-1}{9}.$kG{
$\underset{\,}{\quad}$易见对$\;n\in\mathbb{N}^+\,$有唯一的$\,m=m(n)\,$使$\,c(m-1)< n\le c(m).$z5TMP
$\underset{\,}{\quad}$于是$\;\;m-1\le \lg n< m+\lg m,\quad 0\le \frac{1+\lg n}{m}-1< \frac{1+\lg m}{m}\le 1.$_
$\underset{\,}{\therefore}\;m=m(n)=1+\lfloor\lg n\rfloor.\;$取$\;(b,d)\in\mathbb{N}\,$使$\;n-c(m-1)=bm + d$5T5AY.
$\underset{\,}{\quad}\small\;(0< d\le m).\;$则$\,a_n\,$是第$\,b+1\,$个$\,m\,$位正整数的右起第$\,m-d+1\,$f)
$\underset{\,}{\quad}$位数码.故得通项公式$\;\;\boxed{\,a_n=\left\lfloor\frac{10^{m-1}+b}{10^{m-d}}\right\rfloor\text{(mod 10)}}.$ 其中]&&
$\quad\small\;m=1+\lfloor\lg n\rfloor,\;b={\frac{D-r}{m}}-\lfloor\overset{\,}{\frac{(m-r)}{m}}\rfloor,\;d = r+m \lfloor\frac{(m-r)}{m}\rfloor,D=n-c(m-1),$!<
$\quad\;r=D\,(\text{mod }m)$CQc%@



发贴时间2017/10/19 02:32am IP: 已设置保密[本文共1071字节]  

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