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 elim 
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  题:若$\,f,\,g\,$在$[0,1]$连续,互逆,$\,f\,$凸,$\,f(0)=0,\,f(1)=1,\,$则 ${\large\int}_0^1 fg \le\frac{1}{3}.$OVM
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证:$\because (g(x),x)=(g(x),f(g(x)))\in\Gamma_f = \{(x,f(x))\mid x\in[0,1]\}\,$且$f$凸,P3
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$\underset{\,}{\qquad}$易见$\;\;\lambda_x =\frac{x}{g(x)}\in(0,1)\;\;\scriptsize(0< x<1).$ 于是kHq]D
$\underset{\,}{\qquad} f(x)=f({\small (1-\lambda_x)0+\lambda_x g(x)})\le (1-\lambda_x)f(0)+\lambda_x f(g(x))=\large\frac{x^2}{g(x)}$(L
$\therefore\quad\displaystyle{\int_0^1f(x)g(x)dx\le\int_0^1 x^2dx=\small\frac{1}{3}}.\quad\square$4t-



发贴时间2017/10/14 09:26am IP: 已设置保密[本文共579字节]  
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