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 elim 
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  以下是所论极限的不依赖与Stolz公式的分析:3mX
记\(\;\{a_n\}\,\)是由\(\,a_1=1,\;a_{n+1}=\ln(1+a_n)\,\)确定的序列.由中值定理知)Of';/
\(0< a_{n+1}< a_n\;(\forall n)\).故数列收敛到某\(\,a\ge 0\).满足方程\(\,a=\ln(1+a)\)c^pW`B
因此\(\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a=0.\,\)这里用到了\(\,\ln x\)的严格单调性和连续性.{Q^
据Taylor定理,\({\small\dfrac{1}{(\ln(1+x))^{-1}-x^{-1}}}=2+{\small O}(x)\,\)即\(\displaystyle\,\lim_{n\to\infty}{\small\frac{1}{a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1}}}=2\)<"qIO
故对\(\,\varepsilon>0\,\)有\({\small N}_1\)使\(\,(2-\varepsilon)(a_{k+1}^{-1}-a_k^{-1})< 1< (2+\varepsilon)(a_{k+1}^{-1}-a_k^{-1})\)p@
\((k>{\small N}_1).\,\)对\(\,k=m={\small N}_1{\small+1},\ldots,n{\small-1}(>{\small N}_1),\,\)将上述不等式相加得到kgG`#:
\((2-\varepsilon)(a_n^{-1}-a_m^{-1})< n-m< (2+\varepsilon)(a_n^{-1}-a_m^{-1}),\,|{\small\dfrac{n-m}{a_n^{-1}-a_m^{-1}}}-2|< \varepsilon\)-^4@`S
\(\displaystyle\therefore\;\lim_{n\to\infty}na_n =\lim_{n\to\infty}{\small\frac{n(1-\frac{m}{n})}{a_n^{-1}(1-a_na_m^{-1})}}=\lim_{n\to\infty}{\small\frac{n-m}{a_n^{-1}-a_m^{-1}}}=2\)"0LuI
令\(\,\tau_n=n-{\large\frac{2}{a_n}},\,\)则\(\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{\tau(n+1)-\tau(n)}{\ln(n+1)-\ln n}}=\lim_{n\to\infty}{\small\frac{a_n/6+O(a_n^2)}{\ln(1+\frac{1}{n})}}\,\overset{na_n\to 2}{=\hspace{-3px}=}\,\small\frac{1}{3},\)/x
故有$\small\,N_2\,$使$\;\frac{1}{3}-\varepsilon< {\small\dfrac{\tau(n+1)-\tau(n)}{\ln(n+1)-\ln n}}< \frac{1}{3}+\varepsilon\;\;(n{\small >N_2})$ 即{asA"J
$(\frac{1}{3}-\varepsilon)(\ln(k+1)-\ln k)< \tau(k+1)-\tau(k)<(\frac{1}{3}+\varepsilon)(\ln(k+1)-\ln k)$0
$\small(k\ge m=N_2+1).$在上式取$\,k=m,m{\small+1},\ldots,n\small-1\,(>m),\,$将所得不等式m
相加得$\;\tau_n>(\frac{1}{3}-\varepsilon)\ln{\large\frac{n}{m}}+\tau_m\;$且$\;\frac{1}{3}-\varepsilon<{\large\frac{\tau_n-\tau_m}{\ln n-\ln m}}< \frac{1}{3}+\varepsilon$U
上面第一式说明$\,\tau_n\to\infty\,$于是第二式说明$\,{\large\frac{\tau_n}{\ln n}}\to\frac{1}{3}.$bH
由$\;na_n\tau_n=n(na_n-2)\;$及上述结果即得$\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}\small\frac{n(na_n-2)}{\ln n}=\frac{2}{3}.$d$bv'


发贴时间2021/03/10 04:44pm IP: 已设置保密[本文共2098字节]  

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