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 elim 
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  题:设$\;a_1 > 0,\; a_{n+1} = \log(1+a_n),\;$求$\;{\displaystyle\underset{\,}{\lim_{n\to\infty}}}\frac{\large n(na_n-2)}{\log n}.\quad$ src9#
解:近解置顶:
\(\small(0)\quad 0< a_{n+1}=\ln(1+a_n)< a_n\to A=\ln(1+A)\ge 0\implies a_n\overset{n\to\infty}{\scriptsize\searrow}0\);kcUW5
\(\small(1)\quad\displaystyle\lim_{n\to\infty} na_n=\lim_{n\to\infty}{\scriptsize\frac{n+1-n}{a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1}}}=\lim_{n\to\infty}{\scriptsize\frac{a_na_{n+1}}{a_n-a_{n+1}}}=\lim_{x\to 0}{\scriptsize\frac{x\ln(1+x)}{x-\ln(1+x)}}=2\);G
\(\small(2)\quad\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\scriptsize\frac{n(na_n-2)}{\ln n}}=\lim_{n\to\infty}(na_n){\frac{{\scriptsize n-}\frac{2}{ a_n}}{\scriptsize\ln n}}\overset{\text{stolz}}{=}2\lim_{n\to\infty}{\frac{{\scriptsize n+1-}\frac{2}{a_{n+1}}-({\scriptsize n-}\frac{2}{a_n})}{\scriptsize\ln(n+1)-\ln n}}\);y{
\(\small\quad=\displaystyle 2\lim_{n\to\infty}{\frac{\scriptsize a_na_{n+1}+2(a_{n+1}-a_n)}{\frac{a_n^2a_{n+1}}{na_n}\scriptsize\ln(1+\frac{1}{n})^n}}=4\lim_{x\to 0}{\scriptsize\frac{(2+x)\ln(1+x)-2x}{x^2\ln(1+x)}}=\scriptsize\frac{2}{3}.\quad\square\)/D


发贴时间2017/09/29 03:40am IP: 已设置保密[本文共1211字节]  

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 主贴: 题:设$\;a_1 > 0,\; a_{n+1} = \log(1+a_n),\;$求$\;{\displaystyle\underset{\,}{\lim_{n\to\i ...   作者:elim 2017/09/29 
  回复: 题:设$\;a_1 > 0,\; a_{n+1} = \log(1+a_n),\;$求$\;{\displaystyle\underset{\,}{\lim_{n\to\i ...   作者:elim 2017/09/29 
  回复: 注记:关于$\;\tau_n=\frac{na_n-2}{a_n}\,$的一个(分析)可以概括为:$\underset{\,}{\quad}$令$\ ...   作者:elim 2017/09/29 
  回复: 楼上涉及很多差分计算。作为注记,列举一些最基本的公式:$\underset{\,}{\,}$$\underset{\,}{(1 ...   作者:elim 2017/10/05 
  回复: 一个使用较少分析的计算(Stolz + L'Hospital 法则)易见$\underset{\,}{\,}0$(1)\;\displaystyle{ ...   作者:elim 2017/10/13 
  回复: $\{a_n\}\underset{\,}{\,}$的渐近通项$(0)\underset{\,}{\quad}a_n = \frac{2}{n}+o(n^{-1})$$( ...   作者:elim 2018/03/02 
  回复: (无内容)   作者:elim 2019/07/29 
  回复: 保密   作者:elim 2019/07/29 
  回复: 定理$\,\star\,$\(\quad{\Large\frac{c_n}{b_n}}\to A\implies {\Large\frac{c_1,+\cdots+c_n}{b ...   作者:elim 2020/11/10 
  回复: $\begin{align*}\because\;na_n-(n+1)a_{n+1}&=na_n-(n+1)(a_n-{\small\frac{a_n^2}{2}}+O(a_n^3 ...   作者:elim 2021/02/07 
  回复: 以下是所论极限的不依赖与Stolz公式的分析:记\(\;\{a_n\}\,\)是由\(\,a_1=1,\;a_{n+1}=\ln(1+a_ ...   作者:elim 2021/03/10 

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