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 elim 
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  任一正实数都有唯一的单纯连分数展式.如(ContinuedFraction[Pi,n])"
$\pi = 3+\frac{1}{7+\frac{1}{\large 15+\frac{1}{1+\frac{1}{292+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}}}}=\small[3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,\ldots]$311
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  y[
获得$\pi$的有简单通项公式的各种连分数展式的努力从未停止过:>*a
$\pi=\frac{4}{1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+\frac{7^2}{2+\cdots}}}}}=3+\frac{1^2}{6+\frac{3^2}{\large 6+\frac{5^2}{6+\frac{7^2}{6+\cdots}}}} = \frac{4}{1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7+\frac{4^2}{9+\cdots}}}}}=\cdots$q
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  j*aC
【Another Continued Fraction for $\pi$】 &-
$\qquad$(American Mathematical Monthly Dec.2008 Thomas J. Pickett and Ann Coleman)7
$\frac{\pi}{2}=[1,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots]=1+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{1}{3}+\frac{1}{\frac{1}{4}+\cdots}}}}$3BdQ{
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  =(
下面看看欧拉的一个推导(Petr Beckmann【A History of Pi】1971 p131)p8



发贴时间2017/09/27 04:58am IP: 已设置保密[本文共896字节]  
 elim 
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  ©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  !.z=
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  D_
命题:$\;c_1+c_1c_2+\cdots+c_1c_2{\small\cdots} c_n = \frac{c_1}{1-\large\frac{c_2}{1+c_2-\frac{c_3}{\;^{\ddots}{ 1+c_{n-1}}-\frac{\,^{\small\ddots}c_n\quad}{1+c_n}}}}\quad(*)$.Z)
证:易见$\;n=1,2\,$时等式成立. 由$\;\frac{c_n(1+c_{n+1})}{1+c_n(1+c_{n+1})}=\frac{c_n}{1+c_n-\frac{c_{n+1}}{1+c_{n+1}}}\,$即知)F/4S
$\qquad$用$\,c_n(1+c_{n+1})\,$取代$\,c_n\,$后$(*)$仍成立.$\quad\square$y/
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  +2*=,8
在 $\arctan x = x -\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots = \small\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}}\,$中取$\,x=1$ %
得$\;\;\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots=\small c_1+c_1c_2+c_1c_2c_3+\cdots\;\big(c_n = -\frac{2n-3}{2n-1}\big).\;$据$(*),$f0OeN,
$s_n = 1-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}=\frac{1}{1+\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}+\frac{\frac{3}{5}}{\overset{\ddots}{\;^{\ddots}{ 1--\frac{2n-5}{2n-3}}+\frac{\;\,^{\small\ddots}-\frac{2n-3}{2n-1}\quad}{1-\frac{2n-3}{2n-1}}}}}}$9d
运用关系$\;\frac{\frac{2n-5}{2n-3}}{1-\frac{2n-5}{2n-3}+\frac{\frac{2n-3}{2n-1}}{1-\frac{2n-3}{2n-1}}}=\frac{2n-5}{2+\frac{(2n-3)^2}{2}},\;$化简上式右边得GK$
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$s_n = 1-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}=\frac{1}{1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{\;^{\ddots}{2}+\frac{\,^{\small\ddots}(2n-3)^2\quad}{2}}}}.\quad$令$\,n\to\infty\,$得+
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  eT6
$\frac{\pi}{4}=\frac{1}{1+\large\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+\frac{7^2}{2+\cdots}}}}}=\frac{1}{1}\fplus\frac{1^2}{2}\fplus\frac{3^2}{2}\fplus\fdots\frac{(2n-1)^2}{2}\fplus\fdots$<8BR~t



发贴时间2017/09/27 06:57am IP: 已设置保密[本文共1490字节]  

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