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 elim 
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  [这个贴子最后由elim在 2017/09/28 00:56pm 第 1 次编辑]6
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定理:$\underset{\,}{\;}e = {\small 2}+\frac{1}{1}\fplus\frac{1}{2}\fplus\frac{1}{1}\fplus\frac{1}{1}\fplus\frac{1}{4}\fplus\frac{1}{1}\fplus\frac{1}{1}\fplus\frac{1}{6}\fplus\frac{1}{1}\fplus\frac{1}{1}\fplus\frac{1}{8}\fdots$ (详见[ pdf])2.CY1=
$\underset{\,}{\qquad}\qquad\small =[2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots]$w:|Z
证:令$\;{\small(A_n,B_n,C_n)}=\small\displaystyle{\int_0^1\big(\frac{x^n(x-1)^n}{n!},\frac{x^{n+1}(x-1)^n}{n!},\frac{x^n(x-1)^{n+1}}{n!}\big)e^xdx},\,$则*
${\small(1)}\quad\frac{d}{dx}\big(\frac{x^n(x-1)^n}{n!}e^x\big)=\frac{x^n(x-1)^n}{n!}e^x+\frac{x^n(x-1)^{n-1}}{(n-1)!}e^x+\frac{x^{n-1}(x-1)^n}{(n-1)!}e^x$oK
${\small(2)}\quad\frac{d}{dx}\big(\frac{x^n(x-1)^{n+1}}{n!}e^x\big)=\frac{e^xx^{n-1}(x-1)^n}{n!}(x^2-2nx-n)\underset{\,}{\,}$p>yr
$\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\; =\frac{x^{n+1}(x-1)^n}{n!}e^x+2n\frac{x^n(x-1)^n}{n!}e^x-\frac{x^{n-1}(x-1)^n}{(n-1)!}e^x$;,dC
${\small(3)}\quad\frac{x^n(x-1)^n}{n!}e^x+\frac{x^n(x-1)^{n+1}}{n!}e^x=\frac{x^{n+1}(x-1)^n}{n!}e^x\underset{\,}{.}$NH:
$\therefore\quad A_n=-B_{n-1}-C_{n-1},\;B_n=-2nA_n+C_{n-1},\;C_n = B_n - A_n.$:vo
$\qquad{\small(A_0,B_0,C_0)}=(e-1,1,2-e)\;$Yk
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  c;tK~
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所以$\;\; \frac{e}{e-1}=1+\frac{1}{e-1}=\small [1,e-1] = [1,1,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots]$LH!D
$\qquad = 1+\large\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{6+\cdots}}}}}}}}}$Xg8X.
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$\small\begin{array}{|c| c| c|}\hline n & 1 & 3& 5& 7& {\scriptsize 2k-1,\cdots,2k}& 8 & 6& 4& 2 \\ \hline \frac{a(n)}{b(n)} & \frac{1}{1} & \frac{3}{2}& \frac{11}{7}& \frac{87}{55}& {\scriptsize \frac{a(2k-1)}{b(2k-1)}< \cdots<\frac{a(2k)}{b(2k)}}& \frac{106}{67}& \frac{19}{12}& \frac{8}{5}& \frac{2}{1} \\ \hline r(n) & 1 & 1.5 &1.\dot{5}\ldots\dot{8}& 1.5\dot{8}\dot{1} &\cdots< \frac{e}{e-1}< \cdots& 1.\dot{5}8\ldots8\dot{3}& 1.58\dot{3} & 1.6& 2\\ \hline\end{array}$@e;8D



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 elim 
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  $n=1:\;\underset{\,}{\large\frac{1}{1}}=1$Uz"
$n=2:\;\underset{\,}{\large\frac{2}{1}}=2$#b~%
$n=3:\;\underset{\,}{\large\frac{3}{2}}=1.5$jh
$n=4:\;\underset{\,}{\large\frac{8}{5}}=1.6$9g.uk9
$n=5:\;\underset{\,}{\large\frac{11}{7}}=1.\overline{571428}$4M
$n=6:\;\underset{\,}{\large\frac{19}{12}}=1.58\dot{3}$WH
$n=7:\;\underset{\,}{\large\frac{87}{55}}= 1.5\overline{81}$>E/
$n=8:\;\underset{\,}{\large\frac{106}{67}}=1.\dot{5}58208955223880597014925373134328\dot{3}$+Wye



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