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  题:计算极限$\;\;\displaystyle{\;\lim_{n\to\infty}\frac{1^n+2^n+\cdots+n^n}{n^n}}$e



发贴时间2017/09/11 10:57am IP: 已设置保密[本文共106字节]  
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  题:计算极限$\;\;\displaystyle{\underset{\,}{\;\lim_{n\to\infty}}\frac{1^n+2^n+\cdots+n^n}{n^n}}$n'
解:令$\displaystyle{\;R_n := \small\frac{1^n+2^n+\cdots+n^n}{n^n}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k)^n}{n^n} = \sum_{k=0}^{n}\big(1-\frac{k}{n}\big)^n}\quad(1)$$>+-Q
$\qquad$由Taylor定理,~Od^
$\underset{\,}{\qquad} f(x):=e^x-(1+x) = {\large\frac{x^2}{2}}f\,''(x\theta)={\large\frac{x^2}{2}}e^{\theta x}>0\;{\small(x\ne 0<\theta<1)}$u
$\underset{\,}{\therefore}\quad 1-\frac{k}{n}< e^{-\frac{k}{n}},\quad \big(1-\frac{k}{n}\big)^n < e^{-k}\;\;\small(k\le n)$j!cu
$\qquad$故对$\,m< n,\;$有$\,\small\displaystyle{\;\sum_{k=0}^m\big(1-\frac{k}{n}\big)^n < R_n < \sum_{k=0}^{\infty}e^{-k}=\underset{\,}{\frac{e}{e-1}}}\qquad\quad(2)$RTdY
$\qquad$令$\,n\to\infty\,$得$\quad\small\displaystyle{\sum_{k=0}^m e^{-k}\le\lim_{\overline{n\to\infty}}R_n\le \overline{\lim_{n\to\infty}}R_n\le\underset{\,}{\frac{e}{e-1}}}.\;$再令$\;m\to\infty$3
$\qquad$即得$\displaystyle{\;\;\small\lim_{n\to\infty}\frac{1^n+2^n+\cdots+n^n}{n^n}=\frac{e}{e-1}}=1.5819767068693\ldots\;\;\square$;f|



发贴时间2017/09/11 00:27pm IP: 已设置保密[本文共1113字节]  
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发贴时间2017/09/13 06:30pm IP: 已设置保密[本文共60字节]  
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  数值计算 $\displaystyle{R_n=\small\frac{1^n+2^n+\cdots+n^n}{n^n}}$ 颇具挑战性. ($n^n$ 增长极快!)}g]@h_
用Mathematica 直接计算,当$\,n\underset{\,}{>}10^6\,$时开始很辛苦,很快就变得几乎不可能. 57S~j*
为此作以下估算:对正整数$\underset{\,}{\,}d,\,m,\,n\,(n>m)\,$为使51
$\displaystyle{\underset{\,}{\small\sum_{k=1}^{n-m}}{\small\frac{k^n}{n^n}=\sum_{k=m}^{n-1}\big(1-\frac{k}{n}\big)^n< \sum_{k=m}^{\infty}e^{-k}=\frac{e}{e-1}e^{-m}}< 10^{-d}},\;$只需$\;\ln\big({\large\frac{e}{e-1}}10^d\big)< m.$-
举例说来,对$\,d=73,\,$有$\,m> 168.547\ldots$ 于是有P1
$\displaystyle{0< {\small\frac{1^n+\cdots+n^n}{n^n}-\sum_{k=0}^{169}\big(\frac{n-k}{n}\big)^n }< 10^{-73}\;(n > 169)}.\;$即只需计算$\,169\,$项和,/iE>
就可得到误差小于$\,10^{-73}\,$的所求比值. 以下用 GP/Pari来践行我们的分析:

gXp
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$GP/PARI CALCULATOR Version 2.9.2 (released)wn+P02
............|f:Cq}
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$Copyright (C) 2000-2017 The PARI Groupp<H~w3
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  6)#i|
PARI/GP is free software, covered by the GNU General Public License, and comesUCg
WITHOUT ANY WARRANTY WHATSOEVER.TF
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  lgh^
(10:05) gp > \p 72$J
  realprecision = 77 significant digits (72 digits displayed)>8g;6J
(10:05) gp > sm(n,m) =r
{ my(s=1);,]
 for(j=1,m,4B
   s += exp(n*log((n-j)/n)),+#
 );?
 return(s);9+jtI
}©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  8D
(10:06) gp > v = 1/(1-exp(-1))0c7v
%2 = 1.5819767068693264243850020051090115585468693010753961362667870596480438239
(10:07) gp > sm(1000000,169)*pz
%3 = 1.58197571072294110657980881326425291863135428213215632546731155979676445w4pE
(10:07) gp > sm(10^80,169)TXNk;y
%4 = 1.58197670686932642438500200510901155854686930107539613626678705964804382>,(_@D
(10:07) gp > sm(10^70,169)f+M
%5 = 1.58197670686932642438500200510901155854686930107539613626678705964804372SOaw
(10:07) gp > sm(10^60,169)$o\
%6 = 1.58197670686932642438500200510901155854686930107539613626678606350066025u
(10:07) gp > sm(10^50,169)/uWc`_
%7 = 1.58197670686932642438500200510901155854686930107538617479295143471107919o<4^r
(10:07) gp > sm(10^40,169)U-bjv
%8 = 1.58197670686932642438500200510901155854676968633703988689714075881739371QdvN*A
(10:07) gp > sm(10^30,169)eQO
%9 = 1.58197670686932642438500200510801541116330680737893312796028699919981775uj
(10:07) gp > sm(10^20,169)2Sq
%10= 1.58197670686932642437504053127338662158233904257934893714275487447672291B`NV%2
(10:07) gp > sm(10^10,169)y
%11= 1.58197670676971168603873509235804837780261504742119104113010901864482951?/
(10:07) gp > sm(10^72,169)4^{7m
%12= 1.58197670686932642438500200510901155854686930107539613626678705964804382

+
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用蓝色标示计算结果与极值的吻合部分. 我们看到$\,n\,$为一百万只能得到小数点后9)U
五位的准确度. 另一方面, 虽然需要$\,n=10^{72}\,$才能得到所欲的精度,却只要计算;
$\,169\,$项. 并且完全避免了$(10^{72})^{10^{72}}$之类疯狂的取幂运算. 以至全部计算时间几乎Q"]
可以不计.D



发贴时间2017/09/16 03:22am IP: 已设置保密[本文共3298字节]  

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