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  $\S$0.1 超滤eg
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  h34qI
0.1.1定义 设集合$\,I\ne\varnothing,\;\;\varnothing\ne F-\{\varnothing\}=F\subset\mathscr{P}(I)$eh~992
$\qquad$若$\,(A\in F)\wedge(B\in F)\implies(A\cap B\in F)$ 且9cG70g
$\qquad\quad\;(F\ni A\subset B\subset I)\implies(B\in F)$FkB3
$\qquad$则称$\,F\,$为$\,I\,$上的一个滤(Filter).记作$\,F\in\mathscr{F}(I)$m:
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  vP
0.1.2命题 设$\,F\,$是$\,I\,$上的一个滤. 则q-hK
$\quad(1)\;F\,$关于有限交运算封闭.4`
$\quad(2)\,A\in F\implies A^c\not\in F\;(A^c = I-A).$(TnL
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  8I$
0.1.3评注 由定义,滤非空且不含空集,这蕴含命题0.1.2(2)./U3=
$\quad$定义 若$\,\mathscr{B}\subset\mathscr{P}(I)\,$中的有限交皆非空, 则称$\,\mathscr{B}\,$有限相交.I- f*
$\quad$$(1)\;\;F = \{A\subset\mathbb{N}:\,|A^c|=|\mathbb{N}-A|\in\mathbb{N}\}\in\mathscr{F}(\mathbb{N})\,$(Frechet滤).;
$\qquad\,(2)\;$设$\;\mathscr{B}\subset\mathscr{P}(I)\,$有限相交,则_8?J~A
$\qquad\quad\;\;\displaystyle{\,\langle\mathscr{B}\rangle}=\{S\subset I:\exists\mathscr{C}\subset\mathscr{B}\,(1\le|\mathscr{C}|< \aleph_0)\wedge({\bigcap}\mathscr{C}\subset S)\}$nE(%q
$\qquad\quad\;\;$是$\,\mathscr{B}\,$张成的滤. 当$\,\mathscr{B}\,$只含一个集时称$\langle\mathscr{B}\rangle\,$为主滤?
$\qquad\quad\;\;(\text{Principal filter})$.".TdY{
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  qt!5LX
0.1.4定义$\,\mathscr{F}_u(I) = \{F\in\mathscr{F}(I):(\mathscr{F}(I)\ni G\supset F)\implies (G=F)\}\;$的^?"k
$\qquad$元叫作$\,I\,$上的超滤$(\text{Ultrafilter})$.jvM
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  WT
0.1.5定义 $\,F\in\mathscr{F}(I)\,$叫可数完备的,如果它对可数交封闭.$:=>
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  @q"d^
0.1.6例 Frechet滤是可数不完备的, 主滤$\,F_i\,$皆可数完备.8:Q
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Q
0.1.7定理$\,F\in\mathscr{F}_u(I)\,$可数不完备$\iff\,\exists\{I_n\}((I={\small\displaystyle\bigcup^{\mathbf{.}}}\{I_n\})\wedge \forall n(\varnothing\ne I_n\notin F))$q3?\k&
证:$(\Leftarrow):\quad\because\forall n\,I_n^c\in F(\in\mathscr{F}_u(I)),\;\bigcap\{I_n^c\}=(\bigcup\{I_n\})^c = I^c=\varnothing\notin F.$Z1s
$\qquad\;(\Rightarrow):\;\exists\,\{A_n\}\in F^{\mathbb{N}^+}\;\big(J_1:={\displaystyle\bigcap_{n}} A_n\notin F\big)$0B<



发贴时间2017/08/17 02:31am IP: 已设置保密[本文共1982字节]  

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