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  题:解$\,\mathbb{Q}\,$上的函数方程 $f(x+y) = f(x)+f(y)+\xi xy.$ srcW{2s



发贴时间2017/06/17 01:24pm IP: 已设置保密[本文共196字节]  
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  题:解$\,\mathbb{Q}\,$上的函数方程 $f(x+y) = f(x)+f(y)+\xi xy.$J ,N5"
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  lU5Ubw
解:$\;f(kx)=f(x)+{\small\displaystyle{\sum_{m=1}^{k-1}}}(f((m+1)x-f(mx)))$:;#2
$\qquad =f(x)+{\small\displaystyle{\sum_{m=1}^{k-1}}}(f(x)+\xi mx^2) = kf(x)+\xi x^2\large\frac{k(k-1)}{2}$4kKzE
$\underset{\,}{\qquad}$设$\;f(1)=\lambda,\;$则$\;\lambda = f\big(\frac{n}{n}\big)=nf\big(\frac{1}{n}\big)+\frac{n-1}{2n}\xi$NH}t
$\underset{\,}{\qquad}f\big(\frac{1}{n}\big)=\frac{\lambda}{n}-\frac{n-1}{2n^2}\xi\;\;$进而得}a>_}'
$\qquad(\dagger)\qquad\boxed{f\big({\small\frac{k}{n}}\big)=\frac{k\lambda}{n}+\frac{(k-n)k}{2n^2}\xi\;}$Wr"m5R
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  K
$\quad\because\;\large\frac{a\lambda}{b}+\frac{(a-b)a}{2b^2}\xi+\frac{c\lambda}{d}+\frac{(c-d)c}{2d^2}\xi+\frac{ac}{bd}\xi$TM"W>F
$\qquad\qquad\qquad\quad\large = \frac{(ad+bc)\lambda}{bd}+\frac{((ad+bc)-bd)(ad+bc)}{2(bd)^2}\xi$*
$\quad\therefore\;(\dagger)\;$满足所论函数方程.=
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  @=.
例:取$\,\xi = 1,\;$若$\;14=f(4)=4\lambda+\frac{(4-1)4}{2},\;$则$\;\lambda = 2\underset{\,}{,}$p0
$\qquad\;f\big(\frac{2}{3}\big)={\large\frac{2\lambda}{3}}+{\large\frac{(2-3)2}{3^2 2}}=\large\frac{11}{9}.$b



发贴时间2017/06/17 02:02pm IP: 已设置保密[本文共1120字节]  

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