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  试证 $\sqrt[n]{n}>\sqrt[n+1]{n+1}\,(n\ge 3)$ srcf+)



发贴时间2017/06/10 09:19am IP: 已设置保密[本文共170字节]  
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  题:试证 $\sqrt[n]{n}>\sqrt[n+1]{n+1}\,(n\ge 3).$xT"[
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证:$\because {\large\frac{3^4}{4^3}}={\large\frac{81}{64}}> 1,\;\therefore \sqrt[3]{3}>\sqrt[4]{4}.\;\;$设对某$\;k\ge 3,\;\;{\large\frac{k^{k+1}}{(k+1)^k}}>1,\;\;$则+[7
$\quad{\large\frac{(k+1)^{k+2}}{(k+2)^{k+1}}}={\large\frac{k^{k+1}}{(k+1)^k}}\bigg({\large{\frac{(k+1)^2}{k(k+2)}}}\bigg)^{k+1}={\large\frac{k^{k+1}}{(k+1)^k}}\bigg({\large{\frac{k(k+2)+1}{k(k+2)}}}\bigg)^{k+1}> {\large\frac{k^{k+1}}{(k+1)^k}}> 1.$y>YbU$
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$\therefore\quad n^{n+1}>(n+1)^n,\;\sqrt[n]{n}>\sqrt[n+1]{n+1}\;\;(n\ge 3).\quad\square$&



发贴时间2017/06/10 10:02am IP: 已设置保密[本文共599字节]  
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  题:试证 $\sqrt[n]{n}>\sqrt[n+1]{n+1}\,(n\ge 3).$kf!8
证:$\because \bigg({\large\frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n+1]{n+1}}}\bigg)^{n(n+1)}= {\large\frac{n^{n+1}}{(n+1)^n}} = {\large\frac{n}{(1+\frac{1}{n})^n}}> \frac{n}{e}> 1\;(n\ge 3)$tBHW)
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$\qquad\therefore \sqrt[n]{n}>\sqrt[n+1]{n+1}\quad(n\ge 3).\quad\square${if
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又:令$\;a_n = \large\frac{n^{n+1}}{(n+1)^n},\;$则$\;{\large\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\bigg({\large\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}}\bigg)^{n+1}>1,\quad a_3>1.$Wm8I'
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$\qquad\therefore a_n > 1\;\;(n\ge 3)\;$即$\;\sqrt[n]{n}>\sqrt[n+1]{n+1}\,(n\ge 3).\quad\square$Mm2GY
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又:$\;(1+\frac{1}{n})^n = 2+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\cdots+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{n-1}{n})$N]'Ti
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$\qquad < 2+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}< 3.\quad$可见$\;(1+\frac{1}{n})^n < 3\;(n=1,2,\ldots)$@
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$\qquad\therefore (1+\frac{1}{n})^n < n,\;\;\sqrt[n+1]{n+1}<\sqrt[n]{n}\;\;(n\ge 3).\quad\square$lC



发贴时间2017/06/10 02:09pm IP: 已设置保密[本文共945字节]  

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