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 elim 
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  $\quad$定义$\quad\varphi(x)=\begin{cases}|x|,& |x|\le 1,\\ \varphi(x-2\lfloor \frac{x+1}{2}\rfloor),& |x|> 1. \end{cases}\quad$则$\,\varphi\,$以$\,2\,$为周期.89c_
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$\underset{\,}{\quad}$易见$\quad (\dagger)\quad |\varphi|\le 1,\;\;|\varphi(s)-\varphi(t)|\le |s-t|\quad($所以$\;\varphi\,$连续$)$. 4W
$\underset{\,}{\quad}$于是$\displaystyle{\;f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\big(\frac{3}{4}\big)^n\varphi(4^n x)}\;$的右边一致收敛,$\,f\,$在$\;\mathbb{R}\,$上连续..
$\underset{\,}{\quad}$对正整数$\,m\,$取$\,s_m\in\{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}\,$使$\,4^m x,\,4^mx +s_m\,$之间没有整数.?A}%$
$\underset{\,}{\quad}$令$\;h_m = s_m 4^{-m}\;$于是$\,4^m x,\;4^m(x+h_m)\,$间没有整数.(hs2
$\quad$令$\;\;\gamma_k =\displaystyle{\frac{\varphi(4^k(x+h_m))-\varphi(4^k x)}{h_m}}.\;$由$\;(\dagger)\,$及$\;\varphi\,$的周期性知</(H
$\underset{\,}{\quad}|\gamma_k|\begin{cases}\le 4^n,& 0\le k\le m,\\ =0,& k>m.\end{cases}\quad$但$\,|\gamma_m| = 4^m,\;$可见RAM&c}
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$\quad\displaystyle{\left|\frac{f(x+h_m)-f(x)}{h_m}\right|=\left|\sum_{k=0}^m\big(\frac{3}{4}\big)^k\gamma_k\right|\ge 3^m-\sum_{k=0}^{m-1}3^k=\frac{3^m+1}{2}}.$>v\U2
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$\because\quad h_m\to 0\,(m\to\infty),\;$上式表明$\,f\,$在$\,x\,$不可导.<b;?X\



发贴时间2017/06/04 07:45pm IP: 已设置保密[本文共1204字节]  

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