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 elim 
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  Euler 准则:若$\,2\nmid p\in\mathbb{P},\underset{\,}{\,}\gcd(a,p)=1,\;$则n{}c
$\quad\exists x\in\mathbb{N}\,(x^2\equiv_p a)\iff a^{\frac{p-1}{2}}\equiv\;\; 1\pmod{p},$g+&
$\underset{\,}{\quad}\forall x\in\mathbb{N}\,(x^2\not\equiv_p a)\iff a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\pmod{p}.$)zw`-j
证明:因$\,2\mid p-1,\,$由费马小定理及$\,\mathbb{Z}_p\,$是域知MFr
$(\dagger)\underset{\,}{\;}\big(d^{\frac{p-1}{2}}-1\big)\big(d^{\frac{p-1}{2}}+1\big)\equiv 0\pmod{p}\,$的左边H
$\underset{\,}{\quad}$有因子被$\,p\,$整除.若有$\,x\,$使$\,x^2\equiv a\pmod{p},\,$x
$\underset{\,}{\quad}$则$\,a^{\frac{p-1}{2}}-1\equiv x^{p-1}-1\equiv 0\pmod{p}.$0,
$\underset{\,}{\quad}$反之设$\,a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\pmod{p}.\;$取$\,p\,$的一原根$\,g,$K"F
$\underset{\,}{\quad}$有某$\,1\le j\le p-1\,$使$\,g^{j\frac{p-1}{2}}\equiv 1\pmod{p}.$NJ+
$\underset{\,}{\quad}(a = g^j).\;\;\therefore p-1=o(g)\mid j\frac{p-1}{2}\implies 2\mid j$$>-{\
$\underset{\,}{\quad}\implies x^2 = a\,(x = g^{j/2}).$gRrmj
$\quad$利用$(\dagger)$易见定理的第二个论断成立.$\quad\square$ZW%FoN



发贴时间2017/05/08 07:04am IP: 已设置保密[本文共1065字节]  
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  引用Legendre符号(函数)$\underset{\,}{\,}$r
$\;{\small\left(\dfrac{a}{p}\right)}=\begin{cases}\;\;1,& a\in\mathbb{Z}_p^{\times}\,\text{是模}\,p\,\text{的二次剩余},\\-1,& a\,\text{是模}\,p\,\text{的二次非剩余,}\\ \;\;0,& a\equiv 0\pmod{p}\underset{\,}{.}\end{cases}$zqu[
Euler 准则可以表为$\,(\forall a):\;\;a^{\frac{p-1}{2}}\equiv{\small\left(\dfrac{a}{p}\right)}\pmod{p}.$gk



发贴时间2017/05/08 01:04pm IP: 已设置保密[本文共413字节]  

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