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 elim 
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  对$\underset{\,}{\,}{\small 1<\,}n\in\mathbb{N}^+,\,$令$\,\mathbb{Z}_n = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\,$则$\,\mathbb{Z}_n^{\times} = \{g\in\mathbb{Z}_n:\,g^{-1}\text{ 存在}\}\,$;'q2
是$\,\mathbb{Z}_n\,$中的乘法群.称$\underset{\,}{\,}g\in\mathbb{Z}_n^{\times}$为$\,n\,$的本原根,如果$\,\langle g\rangle= \mathbb{Z}_p^{\times}.$KA
$(\langle g\rangle = \{g^k\mid k\in\mathbb{Z}\}\,$叫$\,g\,$的轨道$)$.基本问题:什么$\,n\,$有本原根?tM4"K/
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  d'.0m
定义: 对$\underset{\,}{\,}{\small 2< n\in\mathbb{N}},\,$称$\,m = \min\{k\in\mathbb{N}^+:\,a^k=1\,{\small(\forall a\in\mathbb{Z}_n^{\times})}\}$=_
$\qquad$为$\,\mathbb{Z}_n\,$的最小通阶.$\;o(g)=|\langle g\rangle|\,$叫$\,g\,$的阶. j*N!
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注记: 注意根据语境判断$\underset{\,}{\,}j\,$表示整数或该数所在的同余类;v!
不难看出$\;\bar{j}\in\mathbb{Z}_n^{\times}\iff \gcd(j,n)=1.\quad$所以$\;|\mathbb{Z}_n^{\times}|=\varphi(n).$aKwH
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引理: 设$\,1< n\in\mathbb{N},\underset{\,}{\,}m\,$是$\,\mathbb{Z}_n\,$的最小通阶$,\,$则有某$\,g\in\mathbb{Z}_n^{\times}\,$使>5
$\qquad|\langle g\rangle| = m$(即$\,g\,$的阶等于$\,\underset{\,}{\,}\mathbb{Z}_n\,$的最小通阶).*+M!
证: 对任意$\underset{\,}{\,}a,b\in\mathbb{Z}_n^{\times},\,$设$\;o(a) = u,\,o(b) = v,\;d=\gcd(u,v),$4oQGV
$\underset{\,}{\qquad}\text{lcm}(u,v)=w.\;\,$易验证对$\;c = a^d,\,u':=o(c)=u/d\;$有)
$\underset{\,}{\qquad}\gcd(u',v)=1,\,\text{lcm}(u\,',v)=w.\;\;$令$\,w\,'=o(bc),\;\;$则有4#$s
$\underset{\,}{\qquad}1=(bc)^{u\,'w\,'}=b^{u\,'w\,'},\;v\mid w\,'u'\implies v\mid w\,'.\,$同理$\,u\,'\mid w\,'$tzD
$\underset{\,}{\qquad}$所以$\,w=u'v\mid w\,'.\;$但显然$\,(bc)^w=1,\;$故$\,w\,'=o(bc)=w.$saV
$\underset{\,}{\qquad}$由此不难推出存在$\,g\in\mathbb{Z}_n\,$使得$\,o(g)=\text{lmc}(\mathbb{Z}_n^{\times})\,($等于$\mathbb{Z}_n$h
$\qquad$的最小通阶$.)\quad\square$FU
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定理: 每个素数$\underset{\,}{\,}p\,$都有本原根.:.
证:由引理, 有$\underset{\,}{\,}g\in\mathbb{Z}_p^{\times}=\mathbb{Z}_p-\{0\}\,$使$\,m=o(g)\,$是让$\;\mathbb{Z}_p^{\times}\,$的_y(
$\underset{\,}{\qquad}$元均为$\,f_n(x)=x^n -1\,$的根的最小正$\,n.\;$由费马小定理, taS
$\underset{\,}{\qquad}m\le p-1.\,$但因$\,\mathbb{Z}_p^{\times}\,$的各元都是$\,x^m -1 = 0\,$的根,必有K#LZLi
$\qquad m\ge |\mathbb{Z}_p^{\times}|=p-1.\;\;\therefore\;o(g)=p-1,\;\langle g\rangle = \mathbb{Z}_p^{\times}.\quad\square$F|=]h



发贴时间2017/05/05 06:52am IP: 已设置保密[本文共2285字节]  

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