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  题:已知等腰三角形$\underset{\,}{\;}\triangle ABC\,$中$\,AB=BC.\;A,B,D\,$共线,V=iRw
$\qquad BD = AC,\;\angle BCD = 50^{\circ}.\quad$求$\;\angle B\,(=\angle ABC).$8tW2Fj



发贴时间2017/04/27 04:43am IP: 已设置保密[本文共195字节]  
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  题:已知等腰三角形$\underset{\,}{\;}\triangle ABC\,$中$\,AB=BC,\;A,B,D\,$共线,([+<
$\underset{\,}{\qquad} BD = AC,\;\angle BCD = 50^{\circ}.\quad$求$\;\angle B\,(=\angle ABC).$U;)
解:不妨设$\underset{\,}{\,}AB=BC=1,\;BD=AC=a,\;CD = b.$w@
$\underset{\,}{\qquad}$令$\;x = \cos\angle ABC,\;\lambda = \cos 50^{\circ}=\cos\large\frac{5\pi}{18}.\;$由余弦定理,{*XRNv
$\underset{\,}{\qquad}(1)\quad a^2=2(1-x),\;\; x = 1-\large\frac{a^2}{2};$J<b
$\qquad(2)\quad a^2 = 1+b^2-2b\lambda\underset{\,}{;}$DAMxw%
$\qquad(3)\quad b^2=1+a^2-2ax\underset{\,}{.}$U{4
$\quad\therefore\qquad\; ax + b\lambda = 1\quad \color{grey}{(2)+(3)}\underset{\,}{\,}$)a"=L
$\qquad(4)\quad(1-ax)^2-\lambda^2 b^2 = 0\underset{\,}{.}$-5^or
$\underset{\,}{\qquad}$将(1),(3) 代入(4),整理得!^KO
$\qquad(5)\quad a^6-4a^4 +4(1-\lambda^2)(a^3+a^2-2a+1)=0$hS,$.
按此在新窗口浏览图片$\underset{\,}{\,}$KVl/yY
$\underset{\,}{\qquad}$方程恰有两个正根, 解得$(1-\lambda^2=\sin^2\frac{5\pi}{18})$<#%
$\underset{\,}{\qquad}a_{\Delta}=1.532088886237956070404785301110833347...$c
$\underset{\,}{\qquad}a_{\delta}=0.769261266639473241774731565696820582\ldots$=
$\underset{\,}{\qquad}$满足$\;1-ax=1-a(1-\frac{a^2}{2})> 0.\;$故都是原题的解。7%uK1
$\underset{\,}{\qquad}\angle B = {\large\frac{180}{\pi}\arccos(1-\frac{a^2}{2})}= 100^{\circ}\;$或$\;\angle B = \theta_{\delta}$Fx
$\underset{\,}{\qquad}\theta_{\delta} = 0.789615278372659479952436889895072...\scriptsize(arc)$!gJL @
$\underset{\,}{\qquad}\quad=45.24162288980101683283292418903902...^{\circ}$V0-UmK
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$\underset{\,}{\qquad}$注: 对$\,\small\angle B=100^{\circ}\;$有$\;\small\angle D=30^{\circ},\;\angle BAC=\angle BCA=40^{\circ},$^'O
$\underset{\,}{\qquad}$据正弦定理,"u8qj4
$\qquad {\small BD=}{\large\frac{BC\sin 50^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=\frac{BC\sin 100^{\circ}}{\cos 50^{\circ}}=\frac{BC\sin 100^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}}{\small = AC}$^2}r
$\qquad$这是对解的又一简捷(并非必须)验证.DbN
按此在新窗口浏览图片NN}



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  上面6次方程的数值解法DXR3U>
按此在新窗口浏览图片~F



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