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  题:试证$\,1,3,...,3^{n-1}\underset{\,}{\,}$克的砝码及一天平可秤出G=
$\qquad 1≤M\le\large\frac{3^n-1}{2}$所有整数$M$克重的物体。r97



发贴时间2017/04/21 02:57pm IP: 已设置保密[本文共161字节]  
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  题:试证$\,1,3,...,3^{n-1}\underset{\,}{\,}$克的砝码及一天平恰可秤出!&9yhP
$\underset{\,}{\qquad}1≤M\le\large\frac{3^n-1}{2}$所有整数$M$克重的物体。{FdgD
证:考虑形如$\underset{\,}{\,}\;\,(1)\quad\;\; e_{n-1}3^{n-1}+\cdots +e_1 3^1+e_0 3^0\,$=khB9K
$\underset{\,}{\qquad}$的数,其中$\,e_k\in E =\{-1,0,1\}.\;$对$\,E\,$中长$\,n\,$的j#N&
$\underset{\,}{\qquad}$不同序列$\,\{e_k\},\{f_k\}\,$,不妨设使$\,e_k\ne f_k\,$的最大;*&m
$\underset{\,}{\qquad}$下标为$\,m\,\small(< n)\,$且$\,f_m>e_m,\;$则它们决定的形如V0rv
$\underset{\,}{\qquad}$(1)的数也不等$:\;(f_k-e_k)3^k+\cdots+(f_0-e_0)$"J'tS.
$\underset{\,}{\qquad}\ge 3^k-2(1+3+\cdots+3^{k-1})=1\ne 0.$}HTlt
$\underset{\,}{\qquad}$故形如(1)的数恰有$\,|\{-1,0,1\}|^n=3^n\;$个. 因irU
$\underset{\,}{\qquad}$其最大最小值为$\;\pm\large\frac{3^n-1}{2},\;\;$所论$\;3^n\,$个数恰好遍.F_h
$\underset{\,}{\qquad}$历从最小到最大值的全部整数.;te
$\underset{\,}{\qquad}$现在对(1)作如下解读$:\;e_k\,$为正表示重$\;3^k\,$克的Gev:"}
$\underset{\,}{\qquad}$砝码放在天平右盘$,\;\;$为负表示该砝码放在天平r03uw
$\underset{\,}{\qquad}$左盘,为零表示该砝码没有上秤$,\;\,$表达式(1)的>6\q
$\underset{\,}{\qquad}$值$\,w\,$为正表示被秤物体在左盘,其重量就是$\,w\,;$Odw%q1
$\underset{\,}{\qquad}w< 0\;$表示被秤物体在右盘,其重量为$\,|w|\,$(克).dT~F
$\underset{\,}{\qquad}w = 0\,$当且仅当$\,e_k = 0,\;k=\overline{0,n-1}.\quad$这只能m|r$F`
$\qquad$在左右两盘皆空的情况发生$\underset{\,}{.}$imM
$\underset{\,}{\qquad}$综上,可被秤的物体的重量的取值范围恰好是FHfa
$\qquad\big\{1,2,\ldots,{\large\frac{3^n-1}{2}}\big\}\quad\square$Q=1{



发贴时间2017/04/22 03:48pm IP: 已设置保密[本文共1546字节]  

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