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 elim 
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  题:设$\underset{\,}{\,}a,b\in\mathbb{N},\,p\,$是奇素数${\large\;1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{p-1}=\frac{a}{b}}$da/A9
$\qquad$试证$\;p\mid a\;($即$\;\; a\equiv 0\pmod{p}).$sFV$



发贴时间2017/04/20 02:59pm IP: 已设置保密[本文共202字节]  
 elim 
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  题:设$\underset{\,}{\,}a,b\in\mathbb{N},\,p\,$是奇素数${\large\;1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{p-1}=\frac{a}{b}}$^f".
$\qquad$试证$\;p\mid a\;($即$\underset{\,}{\;}\; a\equiv 0\pmod{p}).$fP-Z
证:因为$\underset{\,}{\,}p\,$是素数,对$\,k\in\{1,2,\ldots,p-1\},\;\gcd(k,p)=1,$r
$\underset{\,}{\qquad}$有$a_k,b_k\in\mathbb{Z}\,$使$\,a_k k+b_k p=1\,$故有唯一的$\,1\le k\,'< p$jT7|
$\underset{\,}{\qquad}$使$\,k\,'\equiv a_k,\;k\,'k\equiv a_k k+b_kp\equiv 1\pmod{p}.\;$称$\,k\,'\,$为$\,k\,$X__d
$\underset{\,}{\qquad}$的模$\,p-$逆.若$\,{\small 1\le i,\,j< p,\;\;i\,' = j\,',}\,$则$\,i\equiv (j\,'j)i\equiv j(j\,'i)$o0`+j
$\underset{\,}\qquad\equiv j(i\,'i)\equiv j\pmod{p},\,$即$\,i=j.\;$故$\,1',2',\ldots,(p-1)'\;$是3QaJ%
$\underset{\,}{\qquad}1,2,\ldots,p-1\,$的一个置换. 令$\;m_k = \large\frac{(p-1)!}{k},\;$则$\;m_k\equiv $i
$\underset{\,}{\qquad}m_k(kk\,')\equiv(m_k k)k\,'\equiv (p-1)!k\,'\equiv 1^{p-1}k\,'\equiv k\,'(\text{mod }p).$4d[K
$\underset{\,}{\therefore\quad}\,a\equiv a\times 1^{p-1}\equiv (p-1)!b(1+\large\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{p-1})$/#T
$\qquad\quad\equiv b(m_1+m_2+\cdots +m_{p-1})\equiv b(1+2+\cdots p-1)\underset{\,}{\,}$rPl
$\qquad\quad\equiv bp\big(\frac{p-1}{2}\big)\equiv 0\pmod{p}\;($由题设,$\frac{p-1}{2}\,$是正整数$).\;\square$:T`



发贴时间2017/04/21 04:00am IP: 已设置保密[本文共1288字节]  

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