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  设$\underset{\,}{\,}f'\,$在$[a,b]$上存在,$\,v\,$在$\,f'(a),\,f\,'(b)\,$之间. 试证_"
在$\,a,\,b\,$之间必有某$\,c\,$使$\;f'(c) = v.$k|



发贴时间2017/04/05 00:57pm IP: 已设置保密[本文共155字节]  
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  题:设$\underset{\,}{\,}f'\,$在$[a,b]$上存在,$\,v\,$在$\,f'(a),\,f\,'(b)\,$之间. 试证EB
$\underset{\,}{\qquad}$在$\,a,\,b\,$之间必有某$\,c\,$使$\;f'(c) = v.$[A,`Qf
证:不妨设$\underset{\,}{\,}a< b,\;f'(a)<v <f'(b).\;$取$\,h\in(0,{\large\frac{b-a}{2}})\,$oJxg4
$\qquad$使$\quad{\small\displaystyle{\frac{f(a+h)-f(a)}{\underset{\,}{h}}< v<\frac{f(b-h)-f(b)}{-h}}}\quad(\dagger)$[W>
$\qquad$命$\displaystyle{\;F(x)=\small\frac{f(x+h)-f(x)}{\underset{\,}{h}}\;\;(a\le x\le b-h)}.\;\;$则由3'
$\underset{\,}{\qquad}(\dagger),\;\;F(a)< v< F(b-h)\;$从而$\;v = F(\xi)\,$对某\Im~|
$\underset{\,}{\qquad}\,\xi\in(a,b-h)\,$成立($F\,$连续). 进而有$\,\theta\in(0,1)$wdR%
$\qquad$使$\displaystyle{\quad v = F(\xi)={\small\frac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}}=f'(\xi+\theta h)}$@D
$\qquad\small\text{(Lagrange)}.\,$可取$\,c=\xi+\theta h\in(\xi,\xi+h)\subset(a,b).\;\square$0



发贴时间2017/04/07 03:35am IP: 已设置保密[本文共888字节]  
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  我见过的分析书好像都没有将导函数的这个性质作为V
定理或习题提出,但一直觉得导函数有此性质. 一直s<c*a~
没去证它,没想到真的动手时发现证明竟如此简单!y+



发贴时间2017/04/07 03:53am IP: 已设置保密[本文共170字节]  

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