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  若$f$在$\mathbb{R}$上二阶可导$,\;\displaystyle{\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to\infty}f(x)}=\alpha\in\mathbb{R}.\;$?%ok
试证存在某$\;c >0\,$使$\,f\,''(c)=0.$h{SfA6



发贴时间2017/04/05 04:18am IP: 已设置保密[本文共176字节]  
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  题:若$f$在$\mathbb{R}$上二阶可导$,\;\displaystyle{\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to\infty}f(x)}=\alpha\in\mathbb{R}.\underset{\,}{\;}$3
$\underset{\,}{\qquad}$试证存在某$\;c >0\,$使$\,f\,''(c)=0.$,9A`?w
证:若$\,f\,$为常数,则$\,f',\,f\,''= 0\underset{\,}{\,}$为常数.不妨设\=F&k
$\underset{\,}{\qquad}\alpha> f(\beta) = \min f((0,\infty)),\; f'(\beta) = 0.$ 据>d@
$\underset{\,}{\qquad}$中值定理,$\;\exists \gamma > \beta\;(u = f\,'(\gamma)> 0).\;$于是V
$\underset{\,}{\qquad}[0,u]\subset f'([\beta,\gamma])$ ($f'$可导故连续). 如果[(|1L`
$\underset{\,}{\qquad} f'(x)\ge v = u/2\;(x \ge \gamma),\;$则$\,f\to \infty> \alpha$ W8')3/
$\underset{\,}{\qquad}(x\to\infty).\;$所以必有$\,\eta > \gamma\;$使$\;f\,'(\eta)< v.$z|}=
$\underset{\,}{\qquad}$进而$\;f'([\gamma,\eta])\supset[v,u]\subset[0,u]\subset f'([\beta,\gamma])$.3
$\therefore\underset{\,}{\quad}\exists a\in (\beta,\gamma),\; b\in(\gamma,\eta)\;(f'(a)=v=f'(b))$5{5PY]
$\therefore\underset{\,}{\quad}\exists c\in(a,b)\; f''(c)={\small\dfrac{f'(b)-f'(a)}{b-a}} = 0.\quad\square$&:A



发贴时间2017/04/05 04:28pm IP: 已设置保密[本文共1057字节]  
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  题:若$f$在$\mathbb{R}$上二阶可导$,\;\displaystyle{\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to\infty}f(x)}=\alpha\in\mathbb{R}.\underset{\,}{\;}$>]5';
$\underset{\,}{\qquad}$试证存在某$\;c >0\,$使$\,f\,''(c)=0.$Mz)
又证:若$\underset{\,}{\,}f\,$为常数,则$f'=f''=0\,$亦然.不妨设有$\,\beta>0$dk D
$\underset{\,}{\qquad}$使$\;\alpha< f(\beta)=\max f((0,\infty)),\;f'(\beta)=0.\;$于是有某)B@B+m
$\underset{\,}{\qquad}\gamma>\beta,\,s\in(\beta,\gamma)\,$使$\,0> f'(\gamma)=(s-\beta)f''(s).\;\;$但若N{(B2>
$\underset{\,}{\qquad} f''(x)\le 0\,(x>\beta),\;$则$\;f'(x)\le f'(s)\;(x\ge s)\,$得矛盾A:mZ;
$\underset{\,}{\qquad}f(x)-f(s)\le(x-s)f'(s)\to\small -\infty\;(x\to\infty).\;\;$故必有y^~U
$\underset{\,}{\qquad}\,t>\beta\,$使$\,f'(t)> 0>\;f''(s)f''(t).\;$由导函数介值定理,V{]z]
$\qquad$存在$\,c\ge\min(s,t)> 0\,$使$f''(c)=0.\quad\square$mG



发贴时间2017/04/07 05:17am IP: 已设置保密[本文共934字节]  

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