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  试证 $(m,n{\in}N,\,m>n>2)\implies \sqrt[m]{2} + \dfrac{1}{\sqrt[n]{3}} < 2$[



发贴时间2017/04/01 09:31am IP: 已设置保密[本文共99字节]  
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  试证 $(m,n{\in}N,\,m>n>0)\implies \sqrt[m]{2} + \dfrac{1}{\sqrt[n]{3}} < 2$+fBlb;
证:易见$\small\displaystyle{\;\frac{1}{m}\le\frac{1}{n+1}\implies  {\large\sqrt[m]{2}\le(1+1)^{\frac{1}{n+1}}}< 1+\frac{1}{n+1}}$:jy
$\qquad$于是$\displaystyle{\;\big(\sqrt[m]{2} + \frac{1}{\sqrt[n]{3}} < 2\big)\Longleftarrow\big(1+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{\sqrt[n]{3}}< 2\big)}$u|%j
$\qquad\displaystyle{\iff\big(\frac{1}{\sqrt[n]{3}}<\frac{n}{n+1}\big)\iff\big({\small\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n }< 3\big)}$y_8W
$\displaystyle{\therefore\quad e\ge{\small\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n}\implies \bigg(\sqrt[m]{2}+\frac{1}{\sqrt[n]{3}}< 2\;(m> n>0)\bigg )}.$=-N;_



发贴时间2017/04/03 04:40am IP: 已设置保密[本文共673字节]  
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  作为改进, 上面的分析其实可以得到以下结果lVNx"
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  El\X#=
$\qquad\quad\qquad\displaystyle{\sqrt[n+1]{2}< 2- \frac{1}{\sqrt[n]{e}}}\quad\small(n\in\mathbb{N}^+)$98|



发贴时间2017/04/03 04:59am IP: 已设置保密[本文共169字节]  

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