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 elim 
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  (1) 表达式 $\displaystyle{a_0+a_1+a_2+\cdots+a_k+\cdots  =\sum_{n=0}^{\infty} a_n\;(a_n\in\mathbb{C})}$ 叫级数.5zvl
$\displaystyle{\qquad s_n =\sum_{k=0}^n a_n}\,$叫作该级数的部分和. 若$\{s_n\}$收敛, 则称所论级数{p<g
$\qquad$收敛(到$\displaystyle{\;s = \lim_{n\to\infty}s_n}$). 记作$\displaystyle{\quad\sum_{n=0}^{\infty} a_n = s.}$ (注意$\;s-s_n\to 0$)dp'[MG
(2) 若$\displaystyle{\;\sum_{n=0}^{\infty} |a_n|}$ 收敛, 则称$\;\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} a_n}$ 绝对收敛.7|Yyi
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  $o{
(3) 绝对收敛蕴含收敛:$|s_m- s_n|\le {\small\displaystyle{\sum_{j>\max(m,n)}}}|a_j|$ (Cauchy)42}9\n
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ^
(4) 设$\sum |a_n|,\;\sum |b_n|$收敛,$\,c_n:={\small\displaystyle{\sum_{k{\large =}0}^n}}\,a_{n-k}b_k,\;$则$\,\sum a_n\sum b_n = \sum c_n.$K[w1m
证:取$\,M\,$为$\{|a_n|\},\{|b_n|\}$的公共上界, 易见有;}JM
$\qquad\displaystyle{\left|\sum_{n=0}^m a_n\sum_{n=0}^m b_n -\sum_{n=0}^m c_n\right|\le \sum_{m< i+j \le 2m}|a_i||b_j|\le M\sum_{n\ge \lfloor m/2\rfloor}(|a_n|+|b_n|)}$Kiq8
$\qquad$令$\,m\to\infty,$ 命题得证."Fr
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Af_
(5) $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z+w)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^n}{n!}}$|
证:对任意$\,r>0,\,$取$\,k\in\mathbb{N}\,$使$\,k> 2r\,\small(2^{-1}>r/k),\;\,$记$\,M=\displaystyle{\max_{j< k}\{\frac{r^j}{j!}\}}$.7M
$\qquad$对$\,m,n > N > k,\;\;\displaystyle{\left|\bigg(\sum_{j=0}^m-\sum_{j=0}^n\bigg)\frac{r^j}{j!}\right|< \sum_{j\ge N} \frac{r^j}{j!}\le \frac{M}{2^{N-k}}\sum_{j=0}^{\infty}2^{-j}}$x$G
$\qquad ={\small\dfrac{M}{2^{N-k}}}\to 0\,(N\to\infty).\quad\therefore\;\;\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}}$ 绝对收敛.Y;
$\because\quad\displaystyle{\underset{\,}{\sum_{k=0}^n}\frac{z^{n-k}}{(n-k)!}\frac{w^k}{k!}=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}z^{n-k}w^k = \frac{(z+w)^n}{n!}}$,KSnW
$\therefore\quad(4)\implies(5).\quad\square$4t
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  jg
(6) 定义$\displaystyle{\,e^z:={\sum_{n=0}^{\infty}}\frac{z^n}{n!}}$. 则 $\large\frac{d}{dz}e^z = e^z.$gyu
证:对$\,0< |w|< 1\,$有$\underset{\,}{\;}\left|{\large\frac{e^w-1}{w}}-1\right|=\left|w\small\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^n}{(n+2)!}}\right|\le |w|\underset{\large(w\to 0)}{\to 0}$BVXe
$\qquad$据此及(5)$,\;\;\displaystyle{\lim_{w\to 0}\frac{e^{z+w}-e^z}{w}=e^z\lim_{w\to 0}\frac{e^w-1}{w}=e^z}.$D}:/T
$\qquad$即$\,{\large\frac{d}{dz}}e^z=e^z$ (这里没有施行逐项求导及逐项取极限)qzXlK



发贴时间2017/03/30 00:49pm IP: 已设置保密[本文共2352字节]  

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