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  求 $\displaystyle{M =\sum_{n=1}^{2016} n^n}$ 的个位数值.|
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解:由费马小定理,$\,n^n \equiv n^{n\pmod{4}}\pmod{5}$8
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$\therefore\quad(20+k)^{20+k}\equiv k^k\pmod{5}\quad(k=1,2,\ldots)$fj$Q
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  O2#R
$\displaystyle{\because\quad\sum_{k=1}^{20}k^k\equiv\sum_{r=1}^4\sum_{k=0}^3 (5k+r)^{5k+r}\equiv\sum_{r=1}^4\sum_{k=0}^3 r^{k+r}}$L
$\qquad\qquad\quad\displaystyle{\equiv 4+\sum_{r=2}^4 (r^r)\dfrac{r^4-1}{r-1}\equiv 4\pmod{5}}$N
$\qquad(r-1),\;5\mid r^4-1,\;\gcd(5,r-1) = 1\implies 5(r-1)\mid r^4-1$,Q)wxO
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  )(F'
$\displaystyle{\therefore\quad\sum_{n=1}^{2016}n^n\equiv 100\sum_{n=1}^{20}n^n+\sum_{k=1}^{16}}k^k\equiv 4-\sum_{k=17}^{20}k^k\equiv 4\,(\text{mod }5)$0t
$\because\quad 4\mid 2016,\quad\therefore\;\; \displaystyle{\sum_{n=1}^{2.16}n^n \equiv 0\pmod{2}}$,bFb
$\qquad (2\mid M-4)\wedge(5\mid M-4)\implies M \equiv 4\pmod{10}.\quad\square $L



发贴时间2017/03/28 08:11am IP: 已设置保密[本文共859字节]  

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