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  记$\,T(n)\,$为周长为$\,n\,(\ge 3)\,$的整数边长三角形的个数.5:{1
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  R]X*7#
试证 $T(n)=\large\begin{cases} \tau\big(\frac{n^2}{48}\big), & {\small 2\mid n},\\  \tau\big(\frac{(n+3)^2}{48}\big),& {\small 2\nmid n}.\end{cases}$A~)Vn
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  2W[
其中$\;\tau(x)\;$是最靠近$\,x\,$的整数$(x-\lfloor x\rfloor\ne\large\frac{1}{2}.$h
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  '2%'
命$\underset{\,}{\;}A_n=\{(a,b,c)\in\mathbb{N}:\;b+c> a\ge b\ge c> 0,\,a+b+c=n\}$,RA,1x6
则 $T(n) = |A_n|.$  易见 $\small\displaystyle{\left\lceil\frac{n}{3}\right\rceil \le a\le \left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor}$.对在此范围的$\,a\underset{\,}{,}$wgE
$(a,b,n-a-b)\in A_n\,$当且仅当 $\displaystyle{{\small\left\lceil \frac{n-a}{2}\right\rceil}\le b\le a.}$ 于是有m
$\qquad\displaystyle{T(n) = \sum_{a = \lceil\frac{n}{3}\rceil}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor}\left(a-\left\lceil\frac{n-a}{2}\right\rceil+1\right).}$Wd:



发贴时间2017/03/28 05:05am IP: 已设置保密[本文共860字节]  
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  为了化简$\,T(n),\,$我们需要以下引理.:2
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  9B
引理1. $\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil = 0$N
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  DW{J"
引理2. $\;\small\displaystyle{\sum_{k=1}^n\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor = \frac{1}{4}\left(n^2-\frac{1-(-1)^n}{2}\right)=\left\lfloor\frac{n^2}{4}\right\rfloor}$3>,+TD
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  X
$\small\displaystyle{\qquad\qquad \sum_{k=m}^n \left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor =\frac{n^2-(m-1)^2}{4}+\frac{(-1)^n+(-1)^m}{8}}$n
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ')NT?f
引理3. 若$\;m =x+\delta\in\mathbb{Z},\underset{\,}{\;} |\delta| < \frac{1}{2}\;$则Sv]>r
$\qquad\qquad\tau(x)=m =\begin{cases} \lceil x\rceil, & \delta \ge 0,\\ \lfloor x\rfloor, & \delta < 0.\end{cases}$LE.
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  f"(
于是$\;\displaystyle{T(n)=\sum_{a=\lceil\frac{n}{3}\rceil}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor}\big(a+1+\left\lfloor\frac{a-n}{2}\right\rfloor\big)}.\;$|7Ed
对$\,n = 6k+r\;(0\le r < 6)$ 我们有K
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  3kg"::
$\displaystyle{T(6k+0) = \sum_{a=2k}^{3k-1}\left(a+1-3k+\left\lfloor\frac{a}{2}\right\rfloor\right) = \frac{3k^2}{4}+\frac{1-(-1)^{3k}}{8}}$dlR0~
$\qquad\qquad\displaystyle{= \frac{n^2}{48}+\frac{1-(-1)^{3k}}{8}=\left\lceil\frac{n^2}{48}\right\rceil=\tau\big(\frac{n^2}{48}\big)}$iw
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  JE
$\displaystyle{T(6k+1) = \sum_{a=2k+1}^{3k}\left(a+1-3k+\left\lfloor\frac{a-1}{2}\right\rfloor\right)=\frac{k(3k+4)}{4}+\frac{1-(-1)^{3k}}{8}}$U
$\qquad\qquad\displaystyle{= \frac{(n+3)^2}{48}-\frac{1}{3}+\frac{1-(-1)^{3k}}{8}=\left\lfloor\frac{(n+3)^2}{48}\right\rfloor=\tau\big(\frac{(n+3)^2}{48}\big)}$n
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ,|
$\displaystyle{T(6k+2)=\frac{n^2}{48}-\frac{1}{12}-\frac{1-(-1)^{3k}}{8}=\left\lfloor\frac{n^2}{48}\right\rfloor = \tau\big(\frac{n^2}{48}\big)}$+Lvba
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$\displaystyle{T(6k+3) = \left\lceil\frac{(n+3)^2}{48}\right\rceil=\tau\big(\frac{(n+3)^2}{48}\big)}$ C{s
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  8
$\displaystyle{T(6k+4)=\left\lfloor\frac{n^2}{48}\right\rfloor = \tau\big(\frac{n^2}{48}\big)}$"q=
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Qbu6E
$\displaystyle{T(6k+5)=\left\lfloor\frac{(n+3)^2}{48}\right\rfloor=\tau\big(\frac{(n+3)^2}{48}\big)}$;svNxx



发贴时间2017/03/28 05:15am IP: 已设置保密[本文共1860字节]  
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  将上面的结果用表格小结如下:K&p1!n
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  n}|
$\qquad\qquad\begin{array}{|c|c|c|} 9LX
\hline T(n) & 3\mid n & 3\nmid n \\\hlineJx5
 2\mid n  & \left\lceil\frac{n^2}{48}\right\rceil=\tau\big(\frac{n^2}{48}\big) &  \left\lfloor\frac{n^2}{48}\right\rfloor=\tau\big(\frac{n^2}{48}\big)\\\hlinew:cs
 2\nmid n  & \left\lceil{\small\frac{(n+3)^2}{48}}\right\rceil=\tau\big(\frac{(n+3)^2}{48}\big) &  \left\lfloor{\small\frac{(n+3)^2}{48}}\right\rfloor=\tau\big(\frac{(n+3)^2}{48}\big)\\\hlineU2N?>
\end{array}$Ww



发贴时间2017/03/28 05:59am IP: 已设置保密[本文共564字节]  

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