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 * 贴子主题: 试证 $\dfrac{(ax+y-x)\ln\large\frac{ax}{x+y}}{(ax-x-y)\ln\large\frac{ax+y}{x}}< 1\;(a> 1,\,x,y>0)$ 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
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  试证 $\quad\small\dfrac{(ax+y-x)\ln\large\frac{ax}{x+y}}{(ax-x-y)\ln\large\frac{ax+y}{x}}< 1\;(a> 1,\,x,y>0)$|
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发贴时间2017/03/23 01:28am IP: 已设置保密[本文共232字节]  
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  题:试证 $\quad{\small\dfrac{(ax+y-x)\ln\large\frac{ax}{x+y}}{(ax-x-y)\ln\large\frac{ax+y}{x}}}< 1\;(a> 1,\,x,y>0)$-
证:令$\,t = \large\frac{y}{x},\;$则原不等式与$\,(*)\quad\underset{\,}{\small\dfrac{(a+t-1)\ln\large\frac{a}{1+t}}{(a-t-1)\ln(a+t)}}<1$GA
$\qquad(a> 1,\;t>0)\,$等价. 再令$\;u=\underset{\,}{\large\frac{a}{1+t}},\;v = a+t,\;$则有h
$\qquad u(1+t)=a,\underset{\,}{\;}t={\large\frac{v-u}{1+u}},\;\;{\small 0}< u< a < v.\;\;$进而有Os*#ZY
$(\dagger)\small\quad\dfrac{(a+t-1)\ln\large\frac{a}{1+t}}{(a-t-1)\ln(a+t)} = \dfrac{(v-1)\ln u}{(v-2\large\frac{v-u}{1+u}-1)\ln v}=\dfrac{{\frac{1+u}{u-1}}\ln u}{{\large\frac{1+v}{v-1}}\ln v}$>[zS
$\qquad$令$\;f(x)={\large\frac{x+1}{x-1}}\ln x,\;$则$\;f\,'(x)=\large\frac{x^2-1-2x\ln x}{x(x-1)^2}$Po+Z1W
$\qquad$令$\underset{\,}{\,}g(x)=x^2{\small-1}-2x\ln x,\,$由$\;\ln(1+s)< s\,(s> 0)\,$知%oA<J8
$\qquad\,g'(x)=2(x{\small-1}-\ln x)> 0\,(x> 1).\;$再由$\,g(1)=0\underset{\,}{\,}$知!]v4lj
$\qquad\,g> 0\,$因而$\,f\,' > 0\,(x>1).\quad\;\;\therefore\;\;f\,$在$\,(1,\infty)\underset{\,}{\,}$严格增.34I
$\qquad$定义$\,f{\small(1)}={\small\displaystyle\lim_{x\to 1}}f(x),\;$则$\,f\,$连续从而在$\,[1,\infty)\,$上严格增.d<|YT
$\qquad$最后,易验证$\,f > 0\,(x> 0),\;\underset{\,}{\;}f(x^{-1})= f(x)$. 由此得+z
(1)$\quad 1\le u< v\implies f(u)< f(v),$Q5#i`
(2)$\underset{\,}{\quad}0< u< 1< v\implies 1< u^{-1} ={\large\frac{1+t}{a}< a+t=v}$jC
$\qquad\qquad\;\;\,\qquad\underset{\,}{\qquad}\implies f(u)=f(u^{-1})< f(v).$r$as
$\qquad$综合$(1),(2),(\dagger)$即知$\;(*)\;$恒成立$.\quad\square$z~0
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据数学中国luyuanhong老师的解整理i0Tq



发贴时间2017/03/23 06:26am IP: 已设置保密[本文共1698字节]  

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快速回复主题: 试证 $\dfrac{(ax+y-x)\ln\large\frac{ax}{x+y}}{(ax-x-y)\ln\large\frac{ax+y}{x}}< 1\;(a> 1,\,x,y>0)$
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