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  题:求所有实数$\,\alpha,\,$对每个正整数$\,n,\,$有整数$\,m\,$使$\;\displaystyle{\big|\alpha-\frac{m}{n}\big|<\frac{1}{3n}}$C



发贴时间2017/03/10 08:27am IP: 已设置保密[本文共156字节]  
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  题:求所有实数$\,\alpha,\,$对每个正整数$\,n,\,$有整数$\,m\,$使$\;\displaystyle{\big|\alpha-\frac{m}{n}\big|<\frac{1}{3n}}$Bp;M4)
解: 记$\,A\,$为这样的$\,\alpha\underset{\,}{\,}$全体. 易见R;:r
$\qquad A=\small\displaystyle{\bigcap_{n\in\mathbb{N}^+}\bigcup_{m\in\mathbb{Z}} \big(\frac{m}{n}-\frac{1}{3n},\frac{m}{n}+\frac{1}{3n}\big)}$ 且 $x\in A\iff x+1\in A$iQhgf,
$\qquad$故若$\,E = A\cap ( -\frac{1}{\large 2},\frac{1}{\large 2}],\,$则$\;A={\small\displaystyle{\bigcup_{m\in\mathbb{Z}}}} \{x+m\mid x\in E\}$~(T0v
$\qquad$令$\,S_n = ( -\frac{1}{\large 2},\frac{1}{\large 2}]\cap {\small\displaystyle{\bigcup_{m\in\mathbb{Z}} \big(\frac{m}{n}-\frac{1}{3n},\frac{m}{n}+\frac{1}{3n}\big)}}$j?9t
$\qquad$我们断言 $\displaystyle{\bigcap_{k=1}^n S_k =\big (-\frac{1}{3n},\frac{1}{3n}\big).}$ 易验证这对$\,n=1\,$成立.y5k9
$\qquad$由归纳法原理及以下计算易见这对所有$\,n\in\mathbb{N}^+\underset{\,}{\,}$成立:VKx
$\qquad\small\displaystyle{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{3(n+1)} -\frac{1}{3n}=\frac{n-1}{3n(n+1)}\ge 0}$ makes)>
$\qquad\small\displaystyle{\big(-\frac{1}{3n},\frac{1}{3n}\big){\large\cap}\bigcup_{m\in\mathbb{N}^+}(\frac{m}{n+1}-\frac{1}{3(n+1)},\frac{m}{n+1}+\frac{1}{3(n+1)})=\varnothing}$u&
$\qquad$于是$\;\;E ={\small\displaystyle{\bigcap_{n\in\mathbb{N}^+}}} S_n = \{0\}.\qquad\therefore\; A = \mathbb{Z}.\quad\square$zc



发贴时间2017/03/10 09:14am IP: 已设置保密[本文共1356字节]  
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  又解:易见$\quad\small\displaystyle{|\alpha-\frac{m}{n}|<\frac{1}{3n}\iff |n\alpha -m| < \frac{1}{3}}.\quad$YlF
$\quad$则$\,A = \{\alpha\in\mathbb{R}:{\small\forall n\in\mathbb{N}\,\exists m\in\mathbb{Z}\;}(|n\alpha -m|< \frac{1}{3})\}$为所求.Q
$\quad$令$\,E = [\frac{1}{\large3},\frac{2}{\large3}],\;$则$\,n\alpha\in E\implies \forall m\in\mathbb{Z}\big(|n\alpha -m|\ge {\large\frac{1}{3}}\big)$+|MoU>
$\therefore\;E\cap A = \varnothing.\;$且$\,A^c = \{\alpha\in\mathbb{R}:\,\exists n\in\mathbb{N}^+\,(n\alpha\in E)\}.\;$* )>
$\quad$若$\;\alpha\in D=(0,\frac{1}{\large3}),\;$取$\;n=\lceil\frac{1/3}{\alpha}\rceil\in\big[\frac{1/3}{\alpha},1+\frac{1/3}{\alpha}\big),\;$则K
$\quad \frac{1}{\large 3}\le n\alpha < \frac{2}{\large3},\;$故$\,\alpha\in A^c,\,D\cap A = \varnothing.$AMa?
$\quad$若$\,\alpha\in F=({\large\frac{2}{3}},1),\;$取$\;n = \lceil\frac{1/3}{1-\alpha}\rceil\in [\frac{1/3}{1-\alpha},1+\frac{1/3}{1-\alpha})$IONMa~
$\quad \frac{1}{\large 3}< n\alpha -(n-1)< \frac{2}{\large3},\;$故$\,\alpha\in A^c,\,F\cap A = \varnothing.$<f
$\quad$综上$,\;(0,1) = D\cup E\cup F\subset A^c$.X
$\quad$但易见$\;(0\in A)\wedge((x\in A)\iff(x+1\in A)).\;$故$\;A = \mathbb{Z}.$r^T,&8



发贴时间2017/03/13 06:15am IP: 已设置保密[本文共1205字节]  

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