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  记得匈牙利美籍数学家Paul R.Halmos 曾写过一本【朴素集合论】rN
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我们要试着使用比他那个朴素集合论更朴素的“集论”来讨论 ZFC.KJ
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我们能否做到只有拭目以待了,但是不试试是不行的。带着朴素, 应该说是近乎原始的""人文""感情的人前赴后继地想要扳倒ZFC集合论。过去的不说,现在的这拨人的共性是基本看不懂 ZFC. 认真说来,到底有没有人实际上通读过哪怕一本集论的书的,也是个问号。当然人各有所长,不可妄议, 不过没有朴素再朴素的集论的半把刷子,你怎么扳倒 ZFC? 就算是为了军事上的知己知彼, 你也得学着点不是吗? 不会说话你哪来话语权?不错你可以出钱说话,但也不过是说给跟自己一样的人听听而已。中国是不乏有创举的民科,但真正出息的都是下了功夫能在专业圈子里说内行话的。你可以保持赤子之心, 但不能拒绝学说内行话。pdXdo2
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朴素地说,集合是对应于概念外延的数学对象。两个概念逻辑意义上等价当且仅当其外延相等,而外延相等就是它们拥有相同的成员. 这件事情被外延公理所刻划. 在这个意义上没有什么非正常或者未完成集合,集合都是既存的,确定的。否则就不是集合。这里的确定不是指能枚举完毕,而是指原则上一个元素要么是其成员,要么不是其成员.例如有理数全体成为一个既存的集合, 不是因为其元素有限到能被枚举完毕,而是说任何一个实数不能既是有理数,又不是有理数. 例如Euler的$\gamma$常数,不会因为人们不知道它是否是有理数, 就表示有理数全体不构成集合或者它“没有完成”.关于完成再多说几句:明确的数学概念的外延就是完成了的集合。反之亦然。由代数基本定理,给定一个多项式,就确定了这个多项式的零点的集合,虽然人们未必已经解出它们。给定屏幕上的三角形全体成为一个集合, 它的既存性不依赖于人们能否画出该平面上的全部三角形. 无论从集论公理还是集合在数学上的使用,枚举完毕一个无穷集合既没有可能性,也没有必要性,更没有客观性. 无穷集合的完成性违背了实践吗? 这点毫无疑问。实在世界里干脆就没有无穷. 不过就没有一个数学对象是不违背实践的。实在世界里没有1这种东东, 更没有 1/2。 谁告诉你他都能把一个蛋平均分作两半? 数学要是符合实践,还要数学干嘛? 数学是指导实践的,数学非违背有限的实践不可。数学唯一不能违背的是其公理和逻辑。公理可以随便是什么,但必须是合式公式, 必须彼此相容.一个数学系统所赖以建立的公理如果被证明不相容,这个系统就塌陷为子虚乌有, 老账要算到盘古开天, 灭种要做到即时绝代.~#~b_
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我们知道或者听说过用内涵确定集合会产生悖论,例如罗素悖论。在我看来,用内涵确定集合相应于用定义确定概念,必须避免循环定义,而任何定义中出现自我指称都导致循环定义,这就是罗素悖论产生的本源. ZFC中把概括公理限于已知集合, 就是在集论的层次上避免概念的循环定义. 当我们这么看集合的时候,集合与(形式)逻辑的关系就显得格外清晰自然. 注意没有人认为形式逻辑产生悖论,或者必须抛弃.."
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两个集合$\,A,\,B\,$的并$\,A\cup B\,$是一个集合,含且仅含$\,A,\,B\,$的元素./T
$A\cup B := \{x\mid (x\in A)\vee(x\in B)\}$:I!
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  s*:.z*
设$\,\Lambda\,$是一个集合,$\,\mathscr{A}=\{A_{\lambda}\mid\,\lambda\in\Lambda\}\,$是一个集族,定义其并集为&
$\displaystyle{\bigcup \mathscr{A} = \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} = \{x\mid \exists \lambda\in\Lambda\,(x\in A_{\lambda})\}}$是含且仅含每个$\,A_{\lambda}\,$的集合.B~rAk\
当$\;\Lambda = \{m,m+1,m+2,\ldots,n,\ldots\}\subset\mathbb{Z}\,$时用$\displaystyle{\,\bigcup_{n=m}^{\infty}A_n\big(\bigcup_{n\ge m}A_n\big)}\;$表示|?f
$\displaystyle{\bigcup\mathscr{A}\big(=\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_{\lambda}\big)}.\;\;$故$\displaystyle{\;\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n = \{x\mid \exists n\in\mathbb{N}^+(x\in A_n)\}}$ 是含且仅含IiR*
每个$\,A_n\,$的元的集合.`D-q<
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令$\,A_n = \{1,2,{\small\ldots},n\},\;B_n = \{1,2,{\small\ldots},n,n+1\},\;\displaystyle{A={\small\bigcup_{n=1}^{\infty}}A_n,\;B={\small\bigcup_{n=1}^{\infty}}B_n}$I@c
则$\;B_n - A_n{\small= \{n+1\}}\ne\varnothing,\;A_n\subsetneq B_n.\;$即对每个$n,\,A_n$是$\,B_n\,$的真子集.S^`
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若$\,g\in A,\underset{\,}{\,}$则有某$\,n\,$使$\,g\in A_n\subset B_n\subset B.\;$所以$\,A\subset B.$ 反过来,:*sr
对任意$\,g\in B,\,$则有某$\,n\,$使$\,g\in B_n = A_{n+1}\subset A.\,$故$\underset{\,}{\,}B\subset A$. 既然$\,A,\,B$*Z
彼此包含,$A = B = \mathbb{N}^+$(正整数全体), $\,A\,$不是$\,B\,$的真子集.'0



发贴时间2017/03/08 04:04pm IP: 已设置保密[本文共3805字节]  

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