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 * 贴子主题: 对 $a,b,c > 0,$ 求 $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\big(\frac{a^{x^3}+b^{x^3}+c^{x^3}}{a^{x^2}+b^{x^2}+c^{x^2}}\big)^{x^{-2}}}$ 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
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  题: 对 $a,b,c > 0,$ 求 $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\bigg(\frac{a^{x^3}+b^{x^3}+c^{x^3}}{a^{x^2}+b^{x^2}+c^{x^2}}\bigg)^{\frac{1}{x^2}}}.$   srcL1



发贴时间2017/02/17 01:39am IP: 已设置保密[本文共259字节]  
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  题: 对 $a,b,c > 0,$ 求 $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\bigg(\frac{a^{x^3}+b^{x^3}+c^{x^3}}{a^{x^2}+b^{x^2}+c^{x^2}}\bigg)^{\frac{1}{x^2}}}.$"
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解:固定正数序列$\;\{a_k\}_{k=1}^n,\;$令$\;f(x,m)={\small\displaystyle{\sum_{k=1}^n}}a_k^{x^m},\quad$则$\small\displaystyle{\;\lim_{x\to 0}\ln\left(\frac{f(x,3)}{f(x,2)}\right)^{x^{-2}}}$-#6~%
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$\displaystyle{\qquad =\lim_{x\to 0}\frac{\ln f(x,3)-\ln f(x,2)}{x^2}= \lim_{x\to 0}\frac{\large\frac{3x^2\sum_{1}^n a_k^{x^3}\ln a_k}{f(x,3)}-\frac{2x\sum_{1}^n a_k^{x^2}\ln a_k}{f(x,2)}}{2x}}$=`Ca
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$\displaystyle{\qquad = -\frac{\ln (a_1\cdots a_n)}{n}= \ln\frac{1}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}}$tQ
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$\displaystyle{\therefore\quad \lim_{x\to 0}\bigg(\frac{a^{x^3}+b^{x^3}+c^{x^3}}{a^{x^2}+b^{x^2}+c^{x^2}}\bigg)^{\frac{1}{x^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{a b c}}}.\quad\square$;



发贴时间2017/02/17 04:19pm IP: 已设置保密[本文共833字节]  
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  一般地,对$\,k\in\mathbb{N}^+,\,a_j>0\,{\small (j=\overline{1,n})}\;$有$\;{\displaystyle{\lim_{x\to 0}}}\bigg(\small\dfrac{a_1^{x^k}+\cdots+a_n^{x^k}}{a_1^{x^{k+1}}+\cdots+a_n^{x^{k+1}}}\bigg)^{\large\frac{1}{x^k}}=\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$."!b



发贴时间2017/12/05 04:09pm IP: 已设置保密[本文共266字节]  

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