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 elim 
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  主贴:【球与花瓶悖论揭露无穷中的逻辑错误】 作者 门外汉M
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  wd
球与花瓶悖论是一个不太知名的小悖论,但这个小悖论的意义却十分重大,因为它暴露出了无穷理论中的一个致命的逻辑错误。{<
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  :sO
先讲一下这个悖论的具体内容:UP
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  6VJKw<
假设我们有无限个球和一个无穷大的花瓶,现在我们分别把球按照1号2号3号这样编号。第一次操作,把1-10号球放进去,然后把1号拿出来。现在盒子里还有2-10号球。第二次操作,把11-20号球放进去,把2号拿出来,现在有3-20号球,以此类推操作下去。那么,无穷多次这样的操作之后,花瓶里有多少个球呢?z(\hh
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  W/
对于这个问题:首先我们给出一个正确的答案:花瓶里没有球。=
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  [Big
这个答案看起来很荒唐,因为每次都增加了 9 个球,无限次之后,当然有无限个球了,怎么能没有球呢,因为:第n 号球总是在第 n 次操作时被取出来了,因此无限操作下去,每个球都会被取出来,所以花瓶里没有球。而且,这个解释看起来是没有任何逻辑错误的。9d>
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  GX
但其实,这里面并不是没有逻辑错误,而是这个逻辑错误很隐蔽,下面我来给解释一下:f
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  )
有人或许会说:这个过程需要耗费无穷的时间,我们不可能等到那个时候。所以,我将这个题目做一下变换,让这无穷次的操作过程在1分钟内完成:第1/2分钟,进行第一次操作,第3/4分钟,进行第二次操作,第7/8分钟,进行第三次操作……这样,无穷的过程在一分钟时操作完成,而且,这样的操作和原题目的操作是等效的。7
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  .
这样,逻辑漏洞就彻底暴露出来了:因为,在时间还没到达1分钟之前,放进瓶子里的球一定是有限的,只有当时间到达1分钟时,放进瓶子里的球才是无限的。)\
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Gvz4t
所以,在时间到达1分钟之前,我们不去考虑瓶子里究竟还有多少球,我们只考查1这个时间点的操作,根据要求,在这个时间点需要放进10个球,而只拿出一个球,我们不管瓶子里原先还剩下多少球,但在1分钟的时间点上,瓶子里最少还剩下9个球,所以瓶子里球的数量不会是0.<A
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  )0\
但如前面所说:编号为n的球在第n次操作被拿出来了,无论n是几。所以,哪个编号的球都不在花瓶里。这个解释在现在的数学极限理论中是没有逻辑错误的,但是,我们从上面推论出了盒子里球的数量一定不会是0,所以,这只能说明:现在的数学极限理论是错误的。ytYKE&



发贴时间2017/02/03 05:20am IP: 已设置保密[本文共1904字节]  
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  记$\,A_n\,$为第$\,n\,$次操作的结果,由主贴描述可见?6
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  K|
$A_0 = \varnothing,\; A_n = A_{n-1}\cup\{10(n-1)+1,\ldots,10n\}-\{n\}\quad(*)$L)c}='
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  8a6B
于是$\,A_1 = \{2,3,\ldots,10\}.\,$假定$\,A_{n-1}=\{n,n+1,\ldots,10(n-1)\}$,Y+N
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  (D"cr*
则由$\,(*)\,$得$\,A_n = \{n+1,n+2,\ldots,10n\}.$ 此式对一切$\,n\underset{\,}{\,}$成立."53`
于是 $\displaystyle{\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty}A_m = \bigcap_{n=1}^{\infty}\{k\in\mathbb{N}:k > n\} = \varnothing}.$3
从而 $\displaystyle{\underset{\,}{\lim_{n\to\infty}}A_n = \varnothing}.\quad$但$\displaystyle{\;\lim_{n\to\infty}|A_n| = \lim_{n\to\infty}9n = \infty},\;$可见hJarva
$\displaystyle{0 = |\lim_{n\to\infty}A_n}|\ne \lim_{n\to\infty}|A_n| = \infty.\;$这个结果说明基数序列$,\{|A_n|\}$C2
成无穷大量的集合列$\,\{\overset{\,}{A_n}\}\,$的极限可以是空集。所以集合列的Udp?
取基数运算与极限运算一般不可交换. 这件事与得到$\,A_n\,$的时'
间安排毫无关系.   这个结果没有和任何公理或定理发生矛盾,N+j1(s
除了与人们从有限经验而来的期待不合以外,何来逻辑矛盾?A



发贴时间2017/02/04 10:09am IP: 已设置保密[本文共1046字节]  
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  二带状区域交集面积的不连续性:?F
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发贴时间2017/03/15 06:14am IP: 已设置保密[本文共92字节]  

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