>> 欢迎您,客人登录 按这里注册 忘记密码 在线 搜索 论坛风格  帮助  插件   


>>> 数学分析,奇异积分,几何,代数,微分方程,群与环,数论
Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:张筑生【数学分析新讲】开普勒行星运动定律与牛顿万有引力定律 标记论坛所有内容为已读 

 目前论坛总在线 6 人,本主题共有 1 人浏览。其中注册用户 0 人,访客 1 人。  [关闭详细列表]
发表一个新主题 回复贴子 开启一个新投票 ◆此帖被阅读 1060 次◆  浏览上一篇主题  刷新本主题  树形显示贴子 浏览下一篇主题
 * 贴子主题: 张筑生【数学分析新讲】开普勒行星运动定律与牛顿万有引力定律 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 137142 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2037
精华: 0
资料:  
在线: 963 时 43 分 31 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2019/10/12 09:43am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [楼 主]
  16世纪后期,丹麦天文学家第谷·布拉赫(Tycho Brache)以!3^:ux
坚韧不拔的毅力,对太阳系行星进行了20年之久的精细观测, A=f
积累了丰富的资料. 其助手德人开普勒(Johanne Kepler)W
曾参与部分观测并继承了全部观测数据.在此基础上,^,3J,
开普勒又进行了20年研究,总结出行星运动的三大定律.I
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  h6XB\
开普勒第一定律 行星轨道是椭圆, 太阳位于其焦点之一.vg+
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  I6oy[
开普勒第二定律 从太阳到行星的向径在相同时间内扫过d0*S_!
$\qquad\qquad\qquad\qquad$相同的面积(向径面积速度是常数)。5}
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  c/v|F#
开普勒第三定律 各行星公转周期的平方与其轨道长轴n~^G
$\qquad\qquad\qquad\qquad$的立方之比为常数.kbsS
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  _vc,b9
牛顿根据对开普勒行星公转三定律的分析, 判断行星应受^KKa?^
一个指向太阳的力. 其的大小与行星的质量成正比,JcOPI
与距离的平方成反比.经缜密思考,牛顿悟出这就是重力.U
即存在于一切物体间的相互吸引力,总结出万有引力定律:'}
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  V5
万有引力定律 物体都相互吸引,引力沿物体连线作用,)
$\qquad\qquad\qquad\;\;\,$大小与质量之积成正比,与物体间距成反比.?}@VhX


发贴时间2016/10/05 03:59am IP: 已设置保密[本文共907字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 137142 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2037
精华: 0
资料:  
在线: 963 时 43 分 31 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2019/10/12 09:43am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 2 楼]
  椭圆的极坐标方程L
按此在新窗口浏览图片Ktk
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Y1L
牛顿力学定律Ⅱ的极坐标形式$\underset{\,}{\,}$]
考虑动点$\;z=re^{i\theta}.\;\;\mathbf{u}=e^{i\theta}\,$是径向幺向量,$\,\mathbf{v}=ie^{i\theta}\perp\mathbb{u}\underset{\,}{.}$D64
$\dot{\mathbf{u}}=\dot{\theta}\mathbf{v},\;\dot{\mathbf{v}}=-\dot{\theta}\mathbf{u},\;\;\dot{z}=\dot{r}u+r\dot{\theta}\mathbf{v} = z_{r}u+z_{\theta}\mathbf{v}\underset{\,}{\,}$Dr
$\ddot{z}=\ddot{r}\mathbf{u}+2\dot{r}\dot{\theta}\mathbf{v}+r\ddot{\theta}\mathbf{v}-r\cdot(\dot{\theta})^2\mathbf{u}$[Y
$\quad=(\ddot{r}-r\cdot(\dot{\theta})^2)\mathbf{u}+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\mathbf{v}=z_{rr}\mathbf{u}+z_{\theta\theta}\mathbf{v}$`n{Wu&
$\therefore\boxed{(F_r,\,F_{\theta} )= m\big(\ddot{r}-r\cdot(\dot{\theta})^2,\;2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}\big)}$zg4@
是牛顿力学定律Ⅱ的极坐标形式,适用于质点平面运动$\underset{\,}{.}$DN 7
面积速度公式?t*B
$\quad\small\dot{A}=\displaystyle\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta A}{\Delta t}= \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\frac{1}{2}(r+\Delta r)r\sin\Delta\theta}{\Delta t} =\underset{\,}{\frac{r^2\dot{\theta}}{2}}$_4NR
开普勒定律与引力公式相容$\underset{\,}{\,}$WpVa
由开普勒定律Ⅱ及面积速度公式,$\;\;r^2\dot{\theta}\,$是常数$\,\lambda,\;$其导数o"a1
$\;r(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}) = 0.\underset{\,}{\quad}\therefore\;\;\mathbf{F} = \mathbf{F}_{r}\underset{\,}{\;}$即行星所受是径向力.JS
据开普勒定律 I,6
$\;\;-r^{-1}=-p^{-1}(1+\epsilon\cos\theta),\;\;\dot{r}=p^{-1}\epsilon(r^2\dot{\theta}\sin\theta)={\small\dfrac{\epsilon\lambda}{p}}\sin\theta\underset{\,}{,}$)1c
对$\,t\,$求导,据开普勒定律Ⅱ得$\;\ddot{r}={\small\dfrac{\epsilon\lambda}{p}\dot{\theta}\cos\theta}={\small\dfrac{\epsilon\lambda^2}{pr^2}}\cos\theta\underset{\,}{\;}$故)Yqtq
$z_{rr} = \ddot{r}-r(\dot{\theta})^2=\ddot{r}-{\small\dfrac{(r^2\dot{\theta})^2}{r^3}}$*
$\quad={\small\dfrac{\epsilon\lambda^2}{pr^2}}\cos\theta-{\small\dfrac{\lambda^2}{r^{\,3}}}={\small\dfrac{\lambda^2}{r^2}}\big({\small\dfrac{\epsilon}{p}}\cos\theta -\frac{1}{\large r}\big)= -\small\dfrac{\lambda^2}{p}\dfrac{1}{r^2}\underset{\,}{\,}$/9P
$\therefore\;\;F_r = mz_{rr} = -{\small\dfrac{m\lambda^2}{p}\dfrac{1}{r^2}}= -km\small\dfrac{1}{r^2}.\;$下证$\,k\,$与行星无关.H-8|]
设行星的公转周期为$\,T,\,$据K律Ⅱ$,\;\lambda T={\small\displaystyle\int_0^T} r^2\dot{\theta}dt=2\pi ab\underset{\,}{\;}$H-(Wg
由K律Ⅲ$,\underset{\,}{\;}T^2 = \eta a^3.\;$其中常数$\,\eta\,$与行星选取无关.故G5X,(L
$\lambda^2 = \small\displaystyle{\frac{4\pi^2 a^2b^2}{T^2}=\frac{4\pi^2b^2}{\eta a}=\frac{4\pi^2}{\eta}p.\;\;\therefore\;F_r = -km\frac{1}{r^2},\;k=\frac{\lambda^2}{p}\;}$是常数.\


发贴时间2016/10/05 07:33am IP: 已设置保密[本文共2645字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 137142 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2037
精华: 0
资料:  
在线: 963 时 43 分 31 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2019/10/12 09:43am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 3 楼]
  由万有引力定律推出开普勒行星公转三定律$\underset{\,}{\,}$ebxE>
假定行星受指向太阳的引力的作用, 在某时刻以某速度$\underset{\,}{\,}$A<=f
运行(第一推动使然),忽略其它影响,则该时刻行星位置,$\underset{\,}{\,}$& DH
速度向量,引力方向确定了行星恒定的运行平面. 在其上$\underset{\,}{\,}$9;t7d!
以太阳中心为极点作极坐标系, 则行星所受的力为$\underset{\,}{\,}$#.8
$\mathbf{F}=\mathbf{F}_r+\mathbf{F}_{\theta} = F_r\mathbf{u}+F_{\theta}\mathbf{v}\;\underset{\,}{\;}(\mathbf{u}=e^{i\theta},\;\mathbf{v}=ie^{i\theta}).\;\;$其中n)c
$(F_r,F_{\theta}) = ({\small -G}\frac{Mm}{\large r^2},0)\underset{\,}{,}\;\;M,\,m\,$是太阳,行星的质量,$\,G\,$是4xJ
引力常数.于是行星的运动方程为`Ki?1
$\;\;\qquad\ddot{r}-r(\dot\theta)^2 = -k/r^2,\;\;2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=0\;\;(k=GM)\underset{\,}{\,}$Y,
后一式即Kepler第二定律$:\;\underset{\,}{\;}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta})=0.\;\,\dot{A}=\frac{1}{2}r^2\dot{\theta}=\frac{1}{2}\lambda.$.O<j
令$\underset{\,}{\;}\rho = r^{-1},\;$则$\;\dot{\theta}=\lambda \rho^2,\;\;\dot{r}={\small\dfrac{d(1/\rho)}{d\theta}}\dot{\theta}=-\rho^{-2}{\small\dfrac{d\rho}{d\theta}}\dot{\theta}=-\lambda\small\dfrac{d\rho}{d\theta}.$/
进而$\;\ddot{r}={\small\displaystyle\frac{d}{dt}(\dot{r})=\frac{d}{d\theta}\big(-\lambda\frac{d\rho}{d\theta}\big)\dot{\theta}=-\lambda\frac{d^2\rho}{d\theta^2}\dot{\theta}= -\lambda^2\rho^2\frac{d^2\rho}{d\theta^2}}.$G)
$\therefore\;\;\ddot{r}-r(\dot\theta)^2 = -k/r^2\;$等价于$\underset{\,}{\,}-\lambda^2\rho^2{\small\dfrac{d^2\rho}{d\theta^2}}-\lambda^2\rho^3=-k\rho^2,$4mtW[
$\quad {\small\dfrac{d^2\rho}{d\theta^2}}+\rho = \small\dfrac{k}{\lambda^2},\;\;\rho = L\cos(\theta -\theta_0)+k/\lambda^2.\;\;$其中$\underset{\,}{\;}L,\,\theta_0\,$为常数.?|YPU=
$\therefore\;\;\small\displaystyle{r=\frac{1}{L\cos(\theta-\theta_0)+k/\lambda^2} = \frac{p}{1+\epsilon\cos(\theta-\theta_0)}}.\underset{\,}{\;}(p={\scriptsize\frac{\lambda^2}{k}},\;\;\epsilon = pL)$"i
因为引力不是推力,行星不会无穷远去,$\;\epsilon< 1,\,k$律I得证.3V
最后来证$k$律Ⅲ: 由$\underset{\,}{\;}\frac{1}{2}\lambda T=\pi ab,\;\;p = \small\displaystyle{\frac{\lambda^2}{k}=\frac{b^2}{a}}$ 易见Fp
$T^2\small\displaystyle{ =\frac{4\pi^2 a^2b^2}{\lambda^2}=\frac{4\pi^2 a^3(b^2/a)}{k(\lambda^2/k)} = \frac{4\pi^2}{k}{\large a^3}=\big(\frac{4\pi^2}{GM}\big)}\large a^3.\quad\square$*


发贴时间2016/10/05 04:01pm IP: 已设置保密[本文共2307字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 137142 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 2037
精华: 0
资料:  
在线: 963 时 43 分 31 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2019/10/12 09:43am
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 4 楼]
  推导没问题, 思路仍需梳理.ft


发贴时间2019/09/10 01:54am IP: 已设置保密[本文共49字节]  

 该主题只有一页

快速回复主题: 张筑生【数学分析新讲】开普勒行星运动定律与牛顿万有引力定律
您目前的身份是: 客人 ,要使用其他用户身份,请输入用户名和密码。未注册客人请输入网名,密码留空。
输入用户名和密码: 用户名: 没有注册? 密码: 忘记密码?
上传附件或图片 (最大容量 10000KB)
目前附件:(如不需要某个附件,只需删除内容中的相应 [UploadFile ...] 标签即可) [删除]
选项

使用 LeoBBS 标签?
显示您的签名?
有回复时使用邮件通知您?

使用字体转换?

    快速引用第 楼层的回复
 顶端 加到"个人收藏夹" 主题管理总固顶 取消总固顶 区固顶 取消区固顶 固顶 取消固顶 提升 沉底
加重 取消加重 精华 取消精华 锁定 解锁 删除 删除回复 移动


© 中文版权所有: 雷傲科技
程序版权所有: 雷傲超级论坛  版本: LeoBBS X Build051231
 

本论坛言论纯属发表者个人意见,与 Elinkage数学论坛 立场无关