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 elim 
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  题:固定$\;1< p\in\mathbb{N},\;\; 1< \alpha\in\mathbb{R},\;$取$\,x_1 >\lambda = \sqrt[p]{\alpha},\quad\small x_{n+1}=\dfrac{p-1}{p} x_n + \dfrac{\alpha}{p} x_n^{-p+1}.$l7j0pG
$\qquad$讨论$\;\{x_n\}\,$的行为.&
解.假定 $x_n > \lambda = \sqrt[p]{\alpha},\;\;$由$\small\displaystyle{\frac{1-s^{p-1}}{1-s}=\sum_{k=0}^{p-2}s^k \le (p-1)}\;(|s|\le 1)$ 可见, 1v!(
$\quad\quad\quad\quad\quad\small\begin{align}x_{n+1}-\lambda &= \frac{p-1}{p}(x_n-\lambda)+\frac{\lambda}{p}\bigg(\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^{p-1}-1\bigg) \\!V =
& \ge \frac{p-1}{p}(x_n-\lambda) +\frac{\lambda (p-1)}{p}\big(\frac{\lambda}{x_n}-1 \big )\\9
& = \frac{p-1}{p}\frac{(\lambda-x_n)^2}{x_n} > 0\end{align}$VTv.G
$\qquad$故对每个$\,n,\;\;x_n >\lambda = \sqrt[p]{\alpha}.\;$ 于是#.p
$\quad\quad\quad\quad\quad\,\small\displaystyle{x_{n+1}-x_n = -\frac{1}{p}x_n + \frac{\alpha}{p} x_n^{-p+1} =\frac{x_n}{p}\big(\big(\underset{\,}{\frac{\lambda}{x_n}} \big )^{p}-1\big ) < 0},\;$可见^
$\qquad\qquad\quad\sqrt[p]{\alpha}<\cdots < x_{n+1} < x_n <\cdots < x_1\, (\forall n > 1)$E
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$\qquad$令$\quad\displaystyle{\tau = \underset{\small\,}{\lim_{n\to\infty}} x_n}$, 由递归公式得 w"
$\qquad\qquad\tau ={\small\displaystyle{ \frac{p-1}{p}\tau + \frac{\alpha}{p}\tau^{-p+1}}}\implies \tau = \sqrt[p]{\alpha}$I{Ut
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$\qquad$记 $\varepsilon_n = x_n-\sqrt[p]{\alpha}$, 则F='B|
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$\quad\quad\quad\;\; \begin{align}\varepsilon_{n+1} & = \frac{p-1}{p}\varepsilon_n + \frac{1}{p}(\alpha x_n^{-p+1} -\sqrt[p]{\alpha})= \frac{p-1}{p}\varepsilon_n + \frac{\lambda}{p}\big(\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^{p-1} -1 \big )\\JQ
& = \frac{p-1}{p}\varepsilon_n + \frac{\lambda}{p}\big(\frac{\lambda}{x_n}-1 \big )\sum_{k=0}^{p-2}\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^k =  \frac{p-1}{p}\varepsilon_n - \frac{\lambda \varepsilon_n}{p x_n}\sum_{k=0}^{p-2}\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^k\\pE(SW
& = \frac{p-1}{p}\varepsilon_n - \frac{\varepsilon_n}{p}\sum_{k=1}^{p-1}\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^k = \frac{\varepsilon_n}{p} \sum_{k=1}^{p-1}\big(1-\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^k \big )\\w`B8
& = \frac{\varepsilon_n}{p}\big(1-\frac{\lambda}{x_n} \big )\sum_{k=1}^{p-1} \sum_{j=0}^{k-1}\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^j = \frac{\varepsilon_n^2}{p x_n}\sum_{k=1}^{p-1} \sum_{j=0}^{k-1}\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^j\\@fEC
& < \frac{\varepsilon_n^2}{p x_n}\sum_{k=1}^{p-1} k = \frac{p-1}{2x_n}\varepsilon_n^2 < \frac{p-1}{2\sqrt[p]{\alpha}}\varepsilon_n^2`F|i0
\end{align} $^
$\qquad$令 $\beta = \small\dfrac{2\sqrt[p]{\alpha}}{p-1},\;\;$则 $\displaystyle{\frac{\varepsilon_{n+1}}{\beta} < \big(\frac{\varepsilon_n}{\beta} \big )^2}$. 由 $\varepsilon_n\to 0,\;\exists m\in\mathbb{N}^+\;$使 $\displaystyle{\frac{\varepsilon_m}{\beta} (<1)}$TS|PbC
$\quad\quad$充分小. 据此不等式 $\displaystyle{\varepsilon_{m+n} < \beta \big(\frac{\varepsilon_m}{\beta} \big )^{2^n}}$ 显示出收敛过程是何等的极速..e$


发贴时间2016/09/14 05:19pm IP: 已设置保密[本文共2901字节]  
 elim 
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  算法的使用:P
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代码:
def kf(a, k =2, s = 1,e = 0.00000000000001):.
   if a <= 1:4svk
       print "Need input a > 1"Up"]
       return 0!m.^o}
   if int(k) != k or k < 2:MVnhH
       print "Need integer n > 1";ZwwT=
       return 0F[Z$,I
   if 1 == s:-
       print "Calculating %.2f^(1/%d). Accuracy %.18f" % (a, k, e)"W;|
   m = 1 - kO
   u = (k - 1.0)/k"-3eqJ
   v = a*1.0/kr
   x = a*1.0(Hgv&6
   cnt = 0}s':<m
   d = e + 1.0,?TR]
   while d > e:Uv];
       y = u*x + v*(x**m)V,yj[x
       d = x - yj?
       cnt += 1B
       if s == 1:DOA,D
           print "%3d: %.15f" % (cnt, y)k ]u
       x = yU
   if 1 == s:x<J^EX
       print "Result: %0.15f  (%d times iterate, accuracy: %.18f)" % (x, cnt,e)9d ]
   return x

A27


发贴时间2016/09/15 06:30am IP: 已设置保密[本文共1218字节]  
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  问题在于这个算法是如何设计出来的,为什么它在某种意义上是最佳的,81yI'#
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如何对公式作函数论或者几何的解释...QRBN.r
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  对$\;1< p\in\mathbb{N},\; 1< a\in\mathbb{R},\;f(x)=x^p -a,\;$考虑方程$\;f(x)=0.$ 其解的{4
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牛顿逼近恰为$\;x_{n+1} =x_n-{\small\dfrac{f(x_n)}{f\,'(x_n)}}={\small\dfrac{p-1}{p}}x_n +\small\dfrac{\alpha}{p\, x^{p-1}}\;\;(x_0 > 0)\;\;!!!$'|
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