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 elim 
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  题:固定$\;1< p\in\mathbb{N},\;\; 1< \alpha\in\mathbb{R},\;$取$\,x_1 >\lambda = \sqrt[p]{\alpha},\quad\small x_{n+1}=\dfrac{p-1}{p} x_n + \dfrac{\alpha}{p} x_n^{-p+1}.$2)~1Q
$\qquad$讨论$\;\{x_n\}\,$的行为._!=z/
解.假定 $x_n > \lambda = \sqrt[p]{\alpha},\;\;$由$\small\displaystyle{\frac{1-s^{p-1}}{1-s}=\sum_{k=0}^{p-2}s^k \le (p-1)}\;(|s|\le 1)$ 可见,=ZH
$\quad\quad\quad\quad\quad\small\begin{align}x_{n+1}-\lambda &= \frac{p-1}{p}(x_n-\lambda)+\frac{\lambda}{p}\bigg(\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^{p-1}-1\bigg) \\SLW
& \ge \frac{p-1}{p}(x_n-\lambda) +\frac{\lambda (p-1)}{p}\big(\frac{\lambda}{x_n}-1 \big )\\,
& = \frac{p-1}{p}\frac{(\lambda-x_n)^2}{x_n} > 0\end{align}$k
$\qquad$故对每个$\,n,\;\;x_n >\lambda = \sqrt[p]{\alpha}.\;$ 于是s^}1
$\quad\quad\quad\quad\quad\,\small\displaystyle{x_{n+1}-x_n = -\frac{1}{p}x_n + \frac{\alpha}{p} x_n^{-p+1} =\frac{x_n}{p}\big(\big(\underset{\,}{\frac{\lambda}{x_n}} \big )^{p}-1\big ) < 0},\;$可见|A$HE7
$\qquad\qquad\quad\sqrt[p]{\alpha}<\cdots < x_{n+1} < x_n <\cdots < x_1\, (\forall n > 1)$9^ -G
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  S)
$\qquad$令$\quad\displaystyle{\tau = \underset{\small\,}{\lim_{n\to\infty}} x_n}$, 由递归公式得S3
$\qquad\qquad\tau ={\small\displaystyle{ \frac{p-1}{p}\tau + \frac{\alpha}{p}\tau^{-p+1}}}\implies \tau = \sqrt[p]{\alpha}$?J]Zr
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ?7/
$\qquad$记 $\varepsilon_n = x_n-\sqrt[p]{\alpha}$, 则?x
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  S.ar
$\quad\quad\quad\;\; \begin{align}\varepsilon_{n+1} & = \frac{p-1}{p}\varepsilon_n + \frac{1}{p}(\alpha x_n^{-p+1} -\sqrt[p]{\alpha})= \frac{p-1}{p}\varepsilon_n + \frac{\lambda}{p}\big(\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^{p-1} -1 \big )\\~!{H
& = \frac{p-1}{p}\varepsilon_n + \frac{\lambda}{p}\big(\frac{\lambda}{x_n}-1 \big )\sum_{k=0}^{p-2}\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^k =  \frac{p-1}{p}\varepsilon_n - \frac{\lambda \varepsilon_n}{p x_n}\sum_{k=0}^{p-2}\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^k\\Am5
& = \frac{p-1}{p}\varepsilon_n - \frac{\varepsilon_n}{p}\sum_{k=1}^{p-1}\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^k = \frac{\varepsilon_n}{p} \sum_{k=1}^{p-1}\big(1-\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^k \big )\\7S
& = \frac{\varepsilon_n}{p}\big(1-\frac{\lambda}{x_n} \big )\sum_{k=1}^{p-1} \sum_{j=0}^{k-1}\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^j = \frac{\varepsilon_n^2}{p x_n}\sum_{k=1}^{p-1} \sum_{j=0}^{k-1}\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^j\\u=LVax
& < \frac{\varepsilon_n^2}{p x_n}\sum_{k=1}^{p-1} k = \frac{p-1}{2x_n}\varepsilon_n^2 < \frac{p-1}{2\sqrt[p]{\alpha}}\varepsilon_n^2+V
\end{align} $/e%Z/n
$\qquad$令 $\beta = \small\dfrac{2\sqrt[p]{\alpha}}{p-1},\;\;$则 $\displaystyle{\frac{\varepsilon_{n+1}}{\beta} < \big(\frac{\varepsilon_n}{\beta} \big )^2}$. 由 $\varepsilon_n\to 0,\;\exists m\in\mathbb{N}^+\;$使 $\displaystyle{\frac{\varepsilon_m}{\beta} (<1)}$a}
$\quad\quad$充分小. 据此不等式 $\displaystyle{\varepsilon_{m+n} < \beta \big(\frac{\varepsilon_m}{\beta} \big )^{2^n}}$ 显示出收敛过程是何等的极速..|pm`



发贴时间2016/09/14 05:19pm IP: 已设置保密[本文共2901字节]  
 elim 
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  算法的使用:<j">
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  o-"S>
按此在新窗口浏览图片N
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ]K>@U;

代码:
def kf(a, k =2, s = 1,e = 0.00000000000001):S:.+B
   if a <= 1:u
       print "Need input a > 1"4A+O$E
       return 0"@*I`
   if int(k) != k or k < 2:"WoT
       print "Need integer n > 1"`uwli
       return 0xJ
   if 1 == s:JJ%Vkx
       print "Calculating %.2f^(1/%d). Accuracy %.18f" % (a, k, e)^b%
   m = 1 - k&OfW
   u = (k - 1.0)/kJbO
   v = a*1.0/kSO@61
   x = a*1.0.d
   cnt = 0wSz\*r
   d = e + 1.0;dq
   while d > e:A2
       y = u*x + v*(x**m)A~Pig
       d = x - ywL_
       cnt += 1Lif
       if s == 1:K[:v
           print "%3d: %.15f" % (cnt, y)cpXs
       x = y"
   if 1 == s:48
       print "Result: %0.15f  (%d times iterate, accuracy: %.18f)" % (x, cnt,e)*g
   return x

Xg,L



发贴时间2016/09/15 06:30am IP: 已设置保密[本文共1218字节]  
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  问题在于这个算法是如何设计出来的,为什么它在某种意义上是最佳的,FHF
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  Q
如何对公式作函数论或者几何的解释...N
按此在新窗口浏览图片x}#;gb



发贴时间2016/09/15 06:42am IP: 已设置保密[本文共159字节]  
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  对$\;1< p\in\mathbb{N},\; 1< a\in\mathbb{R},\;f(x)=x^p -a,\;$考虑方程$\;f(x)=0.$ 其解的Xge
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牛顿逼近恰为$\;x_{n+1} =x_n-{\small\dfrac{f(x_n)}{f\,'(x_n)}}={\small\dfrac{p-1}{p}}x_n +\small\dfrac{\alpha}{p\, x^{p-1}}\;\;(x_0 > 0)\;\;!!!$2I$
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按此在新窗口浏览图片|6;9>



发贴时间2017/02/24 01:49am IP: 已设置保密[本文共303字节]  

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