>> 欢迎您,客人登录 按这里注册 忘记密码 在线 搜索 论坛风格  帮助  插件   


>>> 数学分析,奇异积分,几何,代数,微分方程,群与环,数论
Elinkage数学论坛基础数学 [返回] → 浏览:极速开方迭代公式 标记论坛所有内容为已读 

 目前论坛总在线 15 人,本主题共有 1 人浏览。其中注册用户 0 人,访客 1 人。  [关闭详细列表]
发表一个新主题 回复贴子 开启一个新投票 ◆此帖被阅读 574 次◆  浏览上一篇主题  刷新本主题  树形显示贴子 浏览下一篇主题
 * 贴子主题: 极速开方迭代公式 不分页显示此帖  保存该页为文件  本贴有问题,发送短消息报告给版主  加入个人收藏&关注本贴  显示可打印的版本  把本贴打包邮递  把本贴加入收藏夹  发送本页面给朋友   
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 125176 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1891
精华: 0
资料:  
在线: 881 时 17 分 32 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2018/10/22 06:27pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [楼 主]
  题:固定$\;1< p\in\mathbb{N},\;\; 1< \alpha\in\mathbb{R},\;$取$\,x_1 >\lambda = \sqrt[p]{\alpha},\quad\small x_{n+1}=\dfrac{p-1}{p} x_n + \dfrac{\alpha}{p} x_n^{-p+1}.$6
$\qquad$讨论$\;\{x_n\}\,$的行为.Zua=
解.假定 $x_n > \lambda = \sqrt[p]{\alpha},\;\;$由$\small\displaystyle{\frac{1-s^{p-1}}{1-s}=\sum_{k=0}^{p-2}s^k \le (p-1)}\;(|s|\le 1)$ 可见,i[
$\quad\quad\quad\quad\quad\small\begin{align}x_{n+1}-\lambda &= \frac{p-1}{p}(x_n-\lambda)+\frac{\lambda}{p}\bigg(\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^{p-1}-1\bigg) \\Z
& \ge \frac{p-1}{p}(x_n-\lambda) +\frac{\lambda (p-1)}{p}\big(\frac{\lambda}{x_n}-1 \big )\\Dt+
& = \frac{p-1}{p}\frac{(\lambda-x_n)^2}{x_n} > 0\end{align}$=N"6a
$\qquad$故对每个$\,n,\;\;x_n >\lambda = \sqrt[p]{\alpha}.\;$ 于是"
$\quad\quad\quad\quad\quad\,\small\displaystyle{x_{n+1}-x_n = -\frac{1}{p}x_n + \frac{\alpha}{p} x_n^{-p+1} =\frac{x_n}{p}\big(\big(\underset{\,}{\frac{\lambda}{x_n}} \big )^{p}-1\big ) < 0},\;$可见S
$\qquad\qquad\quad\sqrt[p]{\alpha}<\cdots < x_{n+1} < x_n <\cdots < x_1\, (\forall n > 1)$jUP[
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  3Xz
$\qquad$令$\quad\displaystyle{\tau = \underset{\small\,}{\lim_{n\to\infty}} x_n}$, 由递归公式得JaO\Y
$\qquad\qquad\tau ={\small\displaystyle{ \frac{p-1}{p}\tau + \frac{\alpha}{p}\tau^{-p+1}}}\implies \tau = \sqrt[p]{\alpha}$St}Jc
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  WuxOM
$\qquad$记 $\varepsilon_n = x_n-\sqrt[p]{\alpha}$, 则ejx2~>
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  `Z
$\quad\quad\quad\;\; \begin{align}\varepsilon_{n+1} & = \frac{p-1}{p}\varepsilon_n + \frac{1}{p}(\alpha x_n^{-p+1} -\sqrt[p]{\alpha})= \frac{p-1}{p}\varepsilon_n + \frac{\lambda}{p}\big(\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^{p-1} -1 \big )\\Zf:d4b
& = \frac{p-1}{p}\varepsilon_n + \frac{\lambda}{p}\big(\frac{\lambda}{x_n}-1 \big )\sum_{k=0}^{p-2}\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^k =  \frac{p-1}{p}\varepsilon_n - \frac{\lambda \varepsilon_n}{p x_n}\sum_{k=0}^{p-2}\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^k\\9z-$
& = \frac{p-1}{p}\varepsilon_n - \frac{\varepsilon_n}{p}\sum_{k=1}^{p-1}\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^k = \frac{\varepsilon_n}{p} \sum_{k=1}^{p-1}\big(1-\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^k \big )\\R)Wd
& = \frac{\varepsilon_n}{p}\big(1-\frac{\lambda}{x_n} \big )\sum_{k=1}^{p-1} \sum_{j=0}^{k-1}\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^j = \frac{\varepsilon_n^2}{p x_n}\sum_{k=1}^{p-1} \sum_{j=0}^{k-1}\big(\frac{\lambda}{x_n} \big )^j\\|qW\
& < \frac{\varepsilon_n^2}{p x_n}\sum_{k=1}^{p-1} k = \frac{p-1}{2x_n}\varepsilon_n^2 < \frac{p-1}{2\sqrt[p]{\alpha}}\varepsilon_n^2kL
\end{align} $;q(D
$\qquad$令 $\beta = \small\dfrac{2\sqrt[p]{\alpha}}{p-1},\;\;$则 $\displaystyle{\frac{\varepsilon_{n+1}}{\beta} < \big(\frac{\varepsilon_n}{\beta} \big )^2}$. 由 $\varepsilon_n\to 0,\;\exists m\in\mathbb{N}^+\;$使 $\displaystyle{\frac{\varepsilon_m}{\beta} (<1)}$])5F
$\quad\quad$充分小. 据此不等式 $\displaystyle{\varepsilon_{m+n} < \beta \big(\frac{\varepsilon_m}{\beta} \big )^{2^n}}$ 显示出收敛过程是何等的极速..uxli



发贴时间2016/09/14 05:19pm IP: 已设置保密[本文共2901字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 125176 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1891
精华: 0
资料:  
在线: 881 时 17 分 32 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2018/10/22 06:27pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 2 楼]
  算法的使用:"
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  iM>{
按此在新窗口浏览图片8IGtc[
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  .Zi.LS

代码:
def kf(a, k =2, s = 1,e = 0.00000000000001):yF kZ
   if a <= 1:wd
       print "Need input a > 1"`+t3%
       return 0}JZP
   if int(k) != k or k < 2:hrk
       print "Need integer n > 1"Di"D
       return 0^]
   if 1 == s:6qz`>!
       print "Calculating %.2f^(1/%d). Accuracy %.18f" % (a, k, e)B
   m = 1 - kNU#E!
   u = (k - 1.0)/kgMcn
   v = a*1.0/kHRu
   x = a*1.0aUksgx
   cnt = 0M-u80M
   d = e + 1.0-qy<z`
   while d > e:bFo
       y = u*x + v*(x**m))G%wh
       d = x - yi
       cnt += 1YImfGR
       if s == 1:lE0|
           print "%3d: %.15f" % (cnt, y)#&
       x = y%`r
   if 1 == s:$UGLTz
       print "Result: %0.15f  (%d times iterate, accuracy: %.18f)" % (x, cnt,e)JN
   return x

s



发贴时间2016/09/15 06:30am IP: 已设置保密[本文共1218字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 125176 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1891
精华: 0
资料:  
在线: 881 时 17 分 32 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2018/10/22 06:27pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 3 楼]
  问题在于这个算法是如何设计出来的,为什么它在某种意义上是最佳的,aV5[*
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  .%Q[&
如何对公式作函数论或者几何的解释...^)
按此在新窗口浏览图片/Hn!x



发贴时间2016/09/15 06:42am IP: 已设置保密[本文共159字节]  
 elim 
 头衔: 论坛版主

 

等级: 新手上路
信息: 该用户目前不在线 此人为版主
威望: 0 积分: 0
现金: 125176 雷傲元
存款: 没开户
贷款: 没贷款
来自: 保密 blank
发帖: 1891
精华: 0
资料:  
在线: 881 时 17 分 32 秒
注册: 2010/12/07 06:27am
造访: 2018/10/22 06:27pm
消息 查看 搜索 好友 引用 回复贴子回复 只看我 [第 4 楼]
  对$\;1< p\in\mathbb{N},\; 1< a\in\mathbb{R},\;f(x)=x^p -a,\;$考虑方程$\;f(x)=0.$ 其解的y
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  /GWKp
牛顿逼近恰为$\;x_{n+1} =x_n-{\small\dfrac{f(x_n)}{f\,'(x_n)}}={\small\dfrac{p-1}{p}}x_n +\small\dfrac{\alpha}{p\, x^{p-1}}\;\;(x_0 > 0)\;\;!!!$^;;*
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  ?
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  v
按此在新窗口浏览图片_':w4



发贴时间2017/02/24 01:49am IP: 已设置保密[本文共303字节]  

 该主题只有一页

快速回复主题: 极速开方迭代公式
您目前的身份是: 客人 ,要使用其他用户身份,请输入用户名和密码。未注册客人请输入网名,密码留空。
输入用户名和密码: 用户名: 没有注册? 密码: 忘记密码?
上传附件或图片 (最大容量 10000KB)
目前附件:(如不需要某个附件,只需删除内容中的相应 [UploadFile ...] 标签即可) [删除]
选项

使用 LeoBBS 标签?
显示您的签名?
有回复时使用邮件通知您?

使用字体转换?

    快速引用第 楼层的回复
 顶端 加到"个人收藏夹" 主题管理总固顶 取消总固顶 区固顶 取消区固顶 固顶 取消固顶 提升 沉底
加重 取消加重 精华 取消精华 锁定 解锁 删除 删除回复 移动


© 中文版权所有: 雷傲科技
程序版权所有: 雷傲超级论坛  版本: LeoBBS X Build051231
 

本论坛言论纯属发表者个人意见,与 Elinkage数学论坛 立场无关