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 elim 
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  对于黎曼可积函数$\small\displaystyle{,\;\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx}\;$是$\,f\,$在$\,[a,b]\,$上的平均.由黎曼和与黎曼积分X
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的关系,我们知道积分是算术平均序列的极限,所以算术平均被扩充成两类:`OnzE_
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  }wA%
有限序列平均和区间分布平均. 因为$\;\small\displaystyle{\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx = \int_0^1 f((1-s)a+sb)ds}$,WU
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后者可归结为连续平均. 相应地,前者为离散平均。平均总以有限为前提,0
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  k?;l3;
前者是序列项数的有限,后者是区间长度的有限.ds
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  (3
设$\,f\,$是分段阶梯函数$\displaystyle{,\;\;f=\sum_{k=1}^n a_k\chi_{I_k}\;\;\small\big(\bigcup_{k=1}^n I_k =[0,1],\;\;I_i\cap I_j =\varnothing\;(i\ne j)\big)},$J#BM)
其中$\,\chi_I\,$是区间$\,I\,$的特征函数. 则$\;\small\displaystyle{\int_9^1 f(x)dx} = \sum_{k=1}^n w_k a_k\;(w_k = |I_k|)$.+?
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一般地, 称$\,w=\{w_k\}\;\small{(\sum w_k = 1)}\,$为一组权,$\,\sum w_k a_k\,$为$\,\{a_k\}\,$的$\,w-$权平均。}v@P



发贴时间2016/09/01 05:21am IP: 已设置保密[本文共846字节]  
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  若$\,w_k\in\mathbb{Q}^+,\small(k=\overline{1,m})$,加权平均可看作普通的离散平均的一个特例,Lz8H7
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  4WM=
其中被平均的量可分为若干同值组$(a_k\in\mathbb{R}^+)$:Efi
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  6r6a)q
$(*)\quad\small\displaystyle{\sum_{k=1}^m w_ka_k = \frac{n_1a_1+n_2 a_2+\cdots+n_m a_m}{n_1+n_2+\cdots+n_m}\ge \big(a_1^{n_1}a_2^{n_2}\cdots a_m^{n_m})^{\frac{1}{n_1+\cdots+n_m}}}\ge \dfrac{1}{\frac{w_1}{a_1}+\cdots +\frac{w_m}{a_m}}$]^
设$\,\lambda_k\in\mathbb{R}^+,\,{\small\displaystyle{\sum_{k=1}^m} \lambda_k=1,\;}$取$\,\{w_{j,k}\}\in\mathbb{Q}^+\,$使$\,w_{j,k}\to \lambda_k\,\small(j\to\infty,\,k=\overline{1,m-1})\;$及StV6t
$\;w_{j,m}=1-{\small\displaystyle{\sum_{k=1}^{m-1}}}w_{j,k},\;$代入$\,(*)\,$并令$\,j\to\infty\,$即得$\;AM^+\ge GM^+\ge HM^+:$|O(0o,
$(\star)\quad\lambda_1 a_1+\lambda_2 a_2+\cdots+\lambda_m a_m\ge a_1^{\lambda_1}a_2^{\lambda_2}\cdots a_m^{\lambda_m}\ge \small\big(\dfrac{\lambda_1}{a_1}+\dfrac{\lambda_2}{a_2}+\cdots+\dfrac{\lambda_m}{a_m}\big)^{-1}$V!VEOf
$\qquad\small{a_k,\lambda_k\in\mathbb{R}^+,\;\sum_1^m \lambda_k=1},\;\text{等号成立当且仅当}\;a_1=a_2+\cdots =a_m.$)kIne(



发贴时间2016/09/01 05:09pm IP: 已设置保密[本文共1070字节]  
 elim 
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  楼上关于加权平均的不等式$\underset{\,}{\,}HM\le GM\le AM$可从Jenson不等式简捷推出.!po
但后者不如前者初等,直观.$\underset{\,}{\,}$vy*7
特别地, $\qquad\small\displaystyle{\frac{1}{(1-\lambda)a+\lambda b}\le \frac{1-\lambda}{a}+\frac{\lambda}{b}}\quad{(a,b>0\le\lambda\le 1)}.$e{
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  1oH
而上式也可以更初等地得到:$\;\small{\boxed{\displaystyle{((1-\lambda)a+\lambda b)\big(\frac{1-\lambda}{a}+\frac{\lambda}{b}\big)=1+\frac{\lambda(1-\lambda)(a-b)^2}{ab}}}}$ gmIc
©Elinkage数学论坛 -- Elinkage极酷超级论坛  O^
$\quad\small\displaystyle{LHS=(1-\lambda)^2+\lambda^2+\lambda(1-\lambda)\big(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\big)=1-2\lambda(1-\lambda)+\lambda(1-\lambda)\big(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\big)}$0q<C
$\qquad\quad\small\displaystyle{=1+\lambda(1-\lambda)\big(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\big)}=RHS.\quad\square$G&c|



发贴时间2016/09/02 02:10am IP: 已设置保密[本文共845字节]  

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