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  题:设$\,k,M>0,\,x\in C[0,a],\,|x(t)|\le M+\int_0^t|x(\tau)|d\tau,$ 则$\underset{\,}{\,}|x(t)|\le Me^{kt}\;\small(0\le t\le a)$O0
证:令$\;y(t)=|x|(\frac{t}{k}),\,$则$\;\displaystyle{y(kt)=|x|(t)}\le M+k\int_0^t y(k\tau)d\tau\overset{\lambda=k\tau}{=}M+\int_0^{kt}y(\lambda)d\lambda$^t2
$\qquad$即$\;y(t)\le{\small M+\displaystyle{\int_0^t}} y(\tau)d\tau\;\small(0\le t\le a).\;$令$\;g(t)=Me^t -y(t),\;$由$\,e^t=1+\int_0^t e^{\tau}d\tau$c
$\qquad$知$\;g(t)\ge{\small\displaystyle{\int_0^t}} g(\tau)d\tau\;(t\in[0,a]).\;$若$\,\small\exists\,\xi\in(0,a)\,(g(\xi)< 0),\,$则$\,\small E=\{t\mid g(t)<0\le t\le a\}$s
$\qquad$非空有界. 记$\;t_0=\inf E(\in[0,\xi)),\,$则$\,0=g(t_0)\ge{\small\displaystyle{\int_0^{t_0}}}g(\tau)d\tau\ge 0,\;\;g|_{[0,t_0]}=0.$J7
$\qquad$取$\;t_1\in(t_0,\xi),\,t_1-t_0< 1,\,$再取$\,\eta\in[t_0,t_1]\,$使$\,g(\eta)=m:=\min g([t_0,t_1]).\;\;$则nt
$\qquad\, 0>m=g(\eta)\ge{\small\displaystyle{\int_0^{\eta}}}g(\tau)d\tau\ge (\eta-t_0)m> m.\,$矛盾! 故$\,Me^t\ge y(t)=|x|(\frac{t}{k})\underset{\,}{,}$,L?
$\qquad\,|x|(t)\le Me^{kt}\,(0\le t\le a).\quad\square$X~l_]



发贴时间2016/08/31 03:27pm IP: 已设置保密[本文共1122字节]  

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