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  化简 $\small\displaystyle{\int_{-1}^x \frac{e^{1/t}}{t^2(1+e^{1/t})^2} dt}\quad(x\in[-1,+\infty]).\qquad$srcbs



发贴时间2016/08/19 05:30am IP: 已设置保密[本文共224字节]  
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  解:$\;\small\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{e^{1/x}}{x^2(1+e^{1/x})^2}=0.\;\;\therefore\;\frac{e^{1/x}}{x^2(1+e^{1/x1})^2}\;}$在任意区间上可积.&ir7V
$\qquad$作代换$\;e^{1/t}=w,\;\;-\frac{e^{1/t}}{t^2}dt = dw,\underset{\,}{\;}$对$\;a > 0\,$有DZ5
$\qquad\small\displaystyle{\int_0^a \frac{e^{1/t}}{t^2(1+e^{1/t})^2}dt = \int_{e^{1/a}}^{\infty}\frac{dw}{(1+w)^2}=\frac{1}{1+e^{1/a}}}$ 且 [E.K!
$\qquad\small\displaystyle{\int_{-a}^0 \frac{e^{1/t}}{t^2(1+e^{1/t})^2}dt = \int_0^{e^{-1/a}}\frac{dw}{(1+w)^2}= 1-\frac{1}{1+e^{1/a}} = \frac{1}{1+e^{1/a}}}.\;\;$所以$VTd
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$\qquad{\small{\displaystyle{\int_{-1}^x \frac{e^{1/t}}{t^2(1+e^{1/t})^2}dt}}} = \begin{cases}\frac{1}{1+e}-\frac{1}{1+e^{1/|x|}},& x\in [-1,0),\\ \frac{1}{1+e}, & x =0,\\ \frac{1}{1+e}+\frac{1}{1+e^{1/|x|}},& x > 0.\qquad\quad\square\end{cases}$wVFn



发贴时间2016/08/19 07:02am IP: 已设置保密[本文共847字节]  
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  解:$\;\small\displaystyle{\lim_{x\to 0+}\frac{e^{1/x}}{x^2(1+e^{1/x})^2}=0.\;\;\therefore\;}$偶函数$\small\displaystyle{\;\frac{e^{1/x}}{x^2(1+e^{1/x})^2}\underset{\,}\;}$在任意区间上可积.'$"
$\qquad$此时$\;\small\displaystyle{\int_0^x = \text{sgn}(x)\int_0^{|x|}}\,$是奇函数.令$\;w=e^{1/t},\;\;dw=-\frac{e^{1/t}dt}{t^2},\underset{\,}{\;}$对$\;a > 0\,\;$有J[-$
$\qquad\small\displaystyle{\int_0^a \frac{e^{1/t}}{t^2(1+e^{1/t})^2}dt = \int_{e^{1/a}}^{\infty}\frac{dw}{(1+w)^2}=\frac{1}{1+e^{1/a}}. \;\;\;\scriptsize\int_{-1}^x=\int_{-1}^0+\int_0^x=\int_0^1+\text{sgn}(x)\int_0^{|x|}}$_*vg
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$\qquad{\small{\displaystyle{\therefore\quad\int_{-1}^x \frac{e^{1/t}}{t^2(1+e^{1/t})^2}dt = \frac{1}{1+e}+\frac{\text{sgn}(x)}{1+e^{1/|x|}}}}}.\quad\square$/



发贴时间2016/08/19 10:02pm IP: 已设置保密[本文共774字节]  

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