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  对$\,f\in C[-1,1]\underset{\,}{\,}$证明 ${\small{\displaystyle{\lim_{h\to 0+}\int_{-1}^1\frac{h}{h^2+x^2}f(x)dx}} =\pi f(0)}$#!]OY'
证:设$\small\;\displaystyle{\max_{[-1,1]}|f| = M,\;}\varepsilon\in (0,1),\;$则${\small{\displaystyle{\,\bigg|\int_{\varepsilon}^1\frac{hf(x)}{h^2+x^2}dx\bigg|\le M\int_{e/h}^{1/h}\frac{ds}{1+s^2}=\arctan s\,\bigg|_{e/h}^{1/h}}}}\underset{h\to 0+}{\to} 0.$4phZ
$\qquad$令$\;m_{\varepsilon}=\min f([0,\varepsilon]),\;M_{\varepsilon}=\max f([0,\varepsilon]),\;$则$\;\displaystyle{\lim_{\varepsilon\to 0+}m_{\varepsilon}=\lim_{\varepsilon\to 0+}M_{\varepsilon} = f(0)}$ 且t52yQ
$\qquad\small\displaystyle{m_{\varepsilon}\int_0^{\varepsilon}\frac{h}{h^2+x^2}dx\le \int_0^{\varepsilon}\frac{h}{h^2+x^2}f(x)dx\le M_{\varepsilon}\int_0^{\varepsilon}\frac{h}{h^2+x^2}dx,\quad\lim_{h\to 0+}\int_0^{\varepsilon}\frac{h}{h^2+x^2}dx= \frac{\pi}{2}}$.sy+
$\qquad\therefore\;\displaystyle{\frac{\pi}{2}m_{\varepsilon} \le\lim_{h\to 0+}\int_0^1\frac{h}{h^2+x^2}f(x)dx\le \frac{\pi}{2}M_{\varepsilon}\;(\forall \varepsilon\in(0,1))}.$ 令 $\varepsilon\to 0+\;$即得)jO;
$\qquad{\small{\displaystyle{\lim_{h\to 0+}\int_0^1\frac{hf(x)}{h^2+x^2}dx=\frac{\pi}{2}f(0).\quad\therefore \int_{-1}^1\frac{h}{h^2+x^2}f(x)dx=\int_0^1}}\frac{h(f(x)+f(-x))}{h^2+x^2}dx} \underset{h\to 0+}{\longrightarrow} \pi f\small(0).\;\;\square$bb*WX2



发贴时间2016/08/19 02:47am IP: 已设置保密[本文共1358字节]  

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